Question

Найти неопределенный интеграл 2arctgx+x /1+x^2 dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Для данного интеграла, давайте выберем:

u = 2arctg(x) => du = (2 / (1 + x^2)) dx dv = x / (1 + x^2) => v = 1/2 ln(1 + x^2)

Теперь, применяем формулу интегрирования по частям:

∫ (2arctg(x) + x) / (1 + x^2) dx = 2arctg(x) * (1/2 ln(1 + x^2)) - ∫ (1/2 ln(1 + x^2)) * (2 / (1 + x^2)) dx

Упростим выражение:

∫ (2arctg(x) + x) / (1 + x^2) dx = arctg(x) * ln(1 + x^2) - ∫ ln(1 + x^2) / (1 + x^2) dx

Для интегрирования последнего члена, сделаем замену:

z = 1 + x^2 => dz = 2x dx

∫ ln(1 + x^2) / (1 + x^2) dx = ∫ ln(z) / z dz

Теперь это интеграл, уже более простой и его можно решить. Проинтегрируем:

∫ ln(z) / z dz = (1/2) ln^2(z) + C

Вернемся к переменной x:

∫ (2arctg(x) + x) / (1 + x^2) dx = arctg(x) * ln(1 + x^2) - (1/2) ln^2(1 + x^2) + C

где C - постоянная интегрирования. Это будет окончательным результатом.