Question

Решите уравнение: 2cos^2x-sinx-1=0

Answer 1

Ответ:

2cos²x-sinx-1=0  

2(1-sin²x)-sinx-1=0  

-2sin²x-sinx+1=0  

2sin²x+sinx-1=0  

sinx=y  

2y²+y-1=0  

y₁=½,y₂=-1  

1) sinx=½;x=(-1)ᵏ•(π/6)+πk,k∈Z  

2) sinx=-1;x=-π/2+2πn,n∈Z.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)) (используем тригонометрическое тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1) и перепишем уравнение:

2(1 - sin^2(x)) - sin(x) - 1 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

-2sin^2(x) - sin(x) + 1 = 0

Чтобы решить квадратное уравнение, давайте введем новую переменную. Пусть t = sin(x), тогда уравнение примет вид:

-2t^2 - t + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно t:

Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -2, b = -1, c = 1

D = (-1)^2 - 4 * (-2) * 1 = 1 + 8 = 9

Теперь найдем корни уравнения:

t = (-b ± √D) / 2a

t₁ = (1 + √9) / 2*(-2) = (1 + 3) / -4 = -4/4 = -1

t₂ = (1 - √9) / 2*(-2) = (1 - 3) / -4 = -(-2) / 4 = 2/4 = 1/2

Теперь вернемся к исходной переменной sin(x):

sin(x) = -1 или sin(x) = 1/2

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям:

1. Когда sin(x) = -1: x = arcsin(-1) + 2πn, где n - целое число. Так как sin(-π/2) = -1, то одно из решений x₁ = -π/2 + 2πn.

2. Когда sin(x) = 1/2: x = arcsin(1/2) + 2πn или x = π - arcsin(1/2) + 2πn, где n - целое число. Так как sin(π/6) = 1/2, то два дополнительных решения x₂ = π/6 + 2πn и x₃ = 5π/6 + 2πn.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

x = -π/2 + 2πn, π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn,

где n - целое число.