Question

Из деpевянного шаpа pадиуса R = 3 м тpебуется выpезать цилиндp наибольшего объема. Hайти pаз- меpы цилиндpа.

Answer 1

R - радиус шара

r - радиус основания цилиндра

h - высота цилиндра

V - объёи цилиндра

V=πr²*h

r²=((2R)²-h²)/4=(36-h²)/4

V=π*(36-h²)*h/4

Надо вычислить при каком h, выражение (36-h²)*h принимает наибольшее значение.

Найдем производную

(36h-h³)'=36-3h²

Прировняем выражение к нулю

36-3h²=0

h²=12

h=√12=2√3 м

r²=(36-12)/4=6

r=√6 м

V=6π*2√3=12π√3 м³

Ответ: высота цилиндра h=2√3 м, радиус оснвания r=√6 м, объем цилиндра V=12π√3 м³

Answer 2

Для вырезания цилиндра наибольшего объема из деревянного шара, необходимо найти оптимальные размеры цилиндра. Задача заключается в том, чтобы максимизировать объем цилиндра при заданном радиусе R.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

V = π * R^2 * h,

где V - объем цилиндра, R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Мы хотим максимизировать V, при условии, что радиус цилиндра не превышает R (R = 3 м).

Для нахождения максимального объема, необходимо найти критические точки функции объема V по высоте h. Для этого рассмотрим производную объема V по h и приравняем её к нулю:

dV/dh = π * R^2 - 0,

π * R^2 = 0.

Как видно, уравнение не имеет решений. Это говорит о том, что объем цилиндра будет максимален, когда его высота равна максимально возможному значению, которое равно диаметру шара D (в нашем случае D = 2 * R = 2 * 3 м = 6 м).

Таким образом, размеры цилиндра будут следующими:

Радиус цилиндра, R = 3 м, Высота цилиндра, h = 6 м.