Question

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0;7) и касающейся окружности (x-15)2+(y-2)2=25.

Answer 1

Уравнение касательной - уравнение прямой, запишем в виде

y=kx+b

Касательная проходит через точку (x₀;y₀), лежащую на окружности,

значит ее координаты удовлетворяют уравнению окружности:

(x₀-15)²+(y₀-2)²=25

и уравнению прямой:

у₀=kx₀+b

Так как касательная проходит через точку А, то

7=b

у₀=kx₀+7

Подставляем в уравнение окружности:

(x₀-15)²+(y₀-2)²=25

(х₀-15)²+(kx₀+7-2)²=25

(х₀-15)²+(kx₀+5)²=25

x₀²-30x₀+225+k²x²₀+10kx₀+25=25

(k²+1)x²₀-(30-10k)x₀+225=0

D=(30-10k)²-4(k²+1)·225= 900 -600k+100k²-900k²-900=

=-600k-800k²=-200k(3k+4)

если D=0, то  уравнение имеет единственный корень и прямая с окружностью имеют одну общую точку.

D=0  при k=0  и k=-4/3

y=7  и y=(-4/3)x + 7 - уравнения касательных

Answer 2

Для того чтобы уравнение прямой касалось окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности. Изначально у нас есть окружность с центром в точке (15, 2) и радиусом 5 (квадрат радиуса = 25).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку A(0, 7).

Пусть уравнение прямой имеет вид y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - свободный член.

Так как прямая проходит через точку A(0, 7), подставим ее координаты в уравнение прямой: 7 = m * 0 + b 7 = b

Теперь у нас есть уравнение прямой: y = mx + 7.

Далее, мы хотим, чтобы прямая касалась окружности (x-15)2 + (y-2)2 = 25. Значит, расстояние от центра окружности (15, 2) до прямой y = mx + 7 должно быть равно радиусу окружности (5).

Формула расстояния от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0 выражается как:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

Для нашего случая A = m, B = -1, C = 7.

Расстояние от точки (15, 2) до прямой y = mx + 7:

d = |m * 15 + (-1) * 2 + 7| / √(m² + (-1)²) d = |15m - 2 + 7| / √(m² + 1)

Так как расстояние должно быть равно радиусу окружности (5), то:

|15m - 2 + 7| / √(m² + 1) = 5

Теперь решим уравнение для m:

1. 15m - 2 + 7 = 5 * √(m² + 1)
2. 15m - 2 + 7 = -5 * √(m² + 1)

Решим первое уравнение:

15m + 5 = 5 * √(m² + 1)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(15m + 5)² = (5 * √(m² + 1))² 225m² + 150m + 25 = 25 * (m² + 1) 225m² + 150m + 25 = 25m² + 25 200m² + 150m = 0

Теперь вынесем общий множитель:

50m(4m + 3) = 0

Итак, у нас два возможных значения m:

1. m₁ = 0
2. m₂ = -3/4

Теперь найдем соответствующие значения b для каждого m:

1. m₁ = 0, b = 7 (мы уже нашли это значение выше).
2. m₂ = -3/4, b = 7 (подставим m₂ в уравнение прямой).

Таким образом, у нас есть два уравнения прямых:

1. y = 0 * x + 7, что эквивалентно y = 7.
2. y = -(3/4) * x + 7.

Ответ: уравнения прямых, проходящих через точку A(0, 7) и касающихся окружности (x-15)² + (y-2)² = 25, это y = 7 и y = -(3/4) * x + 7.