Question

Найти частное решение y'=(1+4cos3x)/2y при x=0; y=2

Answer 1

Ответ:

y = 2e^(0,5x + 4/3 * sin3x)

Пошаговое объяснение:

dy/y = 0,5(1+4cos3x)dx

lny = 0,5x + 4/3 * sin3x + lnC

y = Ce^(0,5x + 4/3 * sin3x)

2 = Ce^0 = C

y = 2e^(0,5x + 4/3 * sin3x)

Answer 2

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, учитывая начальные условия, следует выполнить несколько шагов. Начнем с самого начала.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: y' = (1 + 4cos(3x)) / (2y).

1. Изначальное дифференциальное уравнение представим в виде y' = (1 + 4cos(3x)) / (2y).
2. Перенесем y на одну сторону уравнения и умножим обе части на dy: 2y dy = (1 + 4cos(3x)) dx.
3. Проинтегрируем обе части уравнения: ∫2y dy = ∫(1 + 4cos(3x)) dx.

Для левой части: ∫2y dy = y^2 + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Для правой части, выполним замену переменной, чтобы проинтегрировать cos(3x): Пусть u = 3x, тогда du = 3 dx.

∫(1 + 4cos(3x)) dx = ∫(1 + 4cos(u)) (1/3) du = (1/3) ∫(1 + 4cos(u)) du = (1/3) (u + 4sin(u)) + C2, где C2 - еще одна постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть уравнение: y^2 + C1 = (1/3)(3x + 4sin(3x)) + C2.

4. Подставим начальные условия, x = 0, y = 2: 4 + C1 = (1/3)(0 + 4sin(0)) + C2, 4 + C1 = C2.

Таким образом, уравнение становится: y^2 + C1 = (1/3)(3x + 4sin(3x)) + (4 + C1).

5. Теперь найдем C1. Подставим начальное условие, y = 2, x = 0: 2^2 + C1 = (1/3)(3 * 0 + 4sin(3 * 0)) + (4 + C1), 4 + C1 = 4 + C1.

C1 сокращается, и у нас нет дополнительной информации о C1, что означает, что оно является произвольной константой.

6. Окончательное частное решение: y^2 = (1/3)(3x + 4sin(3x)) + (4 + C1).

Из этого уравнения трудно найти явное выражение для y в зависимости от x, так как C1 остается произвольной константой. Однако с этим частным решением вы можете решить задачи, требующие уравнения дифференциальной кривой с заданными начальными условиями.