Question

Інтеграл виразу корінь із 3 мінус х квадрат

Answer 1

$\int(\sqrt3-x^2)dx=\sqrt3x-\frac{x^3}3+C$

Answer 2

Щоб обчислити інтеграл виразу √(3 - x^2) відносно змінної x, можна скористатися методом інтегрування за підстановкою. Зробимо підстановку, щоб перевести вираз у відповідний вигляд, який легше інтегрується.

Підстановка: x = √(3) * sin(t)

Диференціюючи обидві частини за змінної t, отримаємо:

dx = √(3) * cos(t) dt

Тепер замінимо x та dx в початковому виразі:

∫√(3 - x^2) dx = ∫√(3 - (√(3) * sin(t))^2) * √(3) * cos(t) dt = ∫√(3 - 3sin^2(t)) * √(3) * cos(t) dt = ∫√(3(1 - sin^2(t))) * √(3) * cos(t) dt = ∫√(3 * cos^2(t)) * √(3) * cos(t) dt = ∫√(3) * |cos(t)| * √(3) * cos(t) dt

Тут ми використали тотожність sin^2(t) + cos^2(t) = 1, тому замінили sin^2(t) на 1 - cos^2(t).

Тепер можемо використати тригонометричну ідентичність: |cos(t)| * cos(t) = cos^2(t)

∫√(3 - x^2) dx = ∫√(3) * cos^2(t) dt

Зараз залишилось інтегрувати √(3) * cos^2(t) відносно t. Інтеграл цієї функції досить простий:

∫√(3) * cos^2(t) dt = √(3) * ∫cos^2(t) dt

Інтеграл від cos^2(t) можна обчислити за допомогою стандартної формули:

∫cos^2(t) dt = (1/2) * (t + sin(t) * cos(t)) + C

де C - це довільна константа інтегрування.

Після заміни знову застосуємо підстановку t = arcsin(x/√(3)), щоб повернутися до змінної x:

∫√(3 - x^2) dx = √(3) * ∫cos^2(t) dt = √(3) * [(1/2) * (t + sin(t) * cos(t))] + C = √(3) * [(1/2) * (arcsin(x/√(3)) + sin(arcsin(x/√(3))) * cos(arcsin(x/√(3))))] + C

Таким чином, остаточний результат інтегрування цього виразу є:

∫√(3 - x^2) dx = √(3) * [(1/2) * (arcsin(x/√(3)) + x * √(3-x^2))] + C

де C - довільна константа інтегрування.