Question

Y=2x³-9x²+12x-2 исследовать на экстремум помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'=6x^2-18x+12,   6x^2-18x+12=0,   x^2-3x+2=0,  корни ур-я  x=1 и x=2,

на числ. прямой отмечаем точки  1 и 2 и знаки производной,

 +      1     -     2   + , поизводная меняет в т.1 знак с (+) на (-), х=1 max,  в т. 2 с (-) на (+) , х=2 min,  чтобы найти значения в точках экстремума надо подставить эти значения в функцию и подсчитать.

Answer 2

Для исследования функции Y = 2x³ - 9x² + 12x - 2 на экстремумы (точки максимума и минимума), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдите производную функции Y по переменной x.
2. Решите уравнение производной равной нулю для определения критических точек.
3. Используйте вторую производную для классификации этих точек как точки максимума, минимума или седловые точки.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y' = d/dx (2x³ - 9x² + 12x - 2) Y' = 6x² - 18x + 12

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: 6x² - 18x + 12 = 0

Шаг 3: Теперь найдем вторую производную функции Y: Y'' = d/dx (6x² - 18x + 12) Y'' = 12x - 18

Теперь классифицируем критические точки:

a) Найдем значения x для которых Y''(x) = 0: 12x - 18 = 0 12x = 18 x = 18/12 x = 1.5

b) Определим знак Y''(x) слева и справа от точки x = 1.5, подставив значения x < 1.5 и x > 1.5:

• Если Y''(x) > 0, то это точка минимума.
• Если Y''(x) < 0, то это точка максимума.

Подставим x = 1 (значение меньше 1.5) в Y''(x): Y''(1) = 12(1) - 18 = -6 (меньше 0)

Подставим x = 2 (значение больше 1.5) в Y''(x): Y''(2) = 12(2) - 18 = 6 (больше 0)

Теперь определяем значения Y(x) в найденных критических точках:

1. Когда x = 1.5: Y(1.5) = 2(1.5)³ - 9(1.5)² + 12(1.5) - 2 Y(1.5) = 2(3.375) - 9(2.25) + 18 - 2 Y(1.5) = 6.75 - 20.25 + 16 Y(1.5) = 2.5

Таким образом, при x = 1.5 функция имеет точку минимума.

2. Теперь найдем значения функции на граничных точках. Функция Y - это полином третьей степени, и она не имеет верхнего предела в положительной или отрицательной бесконечности, поэтому мы не рассматриваем граничные точки.

Итак, единственной критической точкой, которую мы нашли, является точка минимума при x = 1.5, и ее значение Y(1.5) = 2.5.