Question

Найдите все первообразные функции f(x) =2x^3-6x^2+x-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти первообразную функцию $F(x)$ для $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1$, нам нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Для этого найдем интеграл от $f(x)$ по переменной $x$:

$F(x) = \int (2x^3 - 6x^2 + x - 1) \, dx$

Выполним интегрирование почленно. Интеграл каждого слагаемого можно найти, применяя формулы интегрирования:

$\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C, \quad \text{где } n \neq -1$

где $C$ — постоянная интегрирования.

$F(x) = \int 2x^3 \, dx - \int 6x^2 \, dx + \int x \, dx - \int 1 \, dx$

Теперь найдем каждый интеграл:

$\int 2x^3 \, dx = \frac{{2x^4}}{4} + C_1 = \frac{{x^4}}{2} + C_1$

$\int 6x^2 \, dx = \frac{{6x^3}}{3} + C_2 = 2x^3 + C_2$

$\int x \, dx = \frac{{x^2}}{2} + C_3$

$\int 1 \, dx = x + C_4$

Где $C_1$, $C_2$, $C_3$ и $C_4$ — постоянные интегрирования.

Теперь соберем все слагаемые обратно:

$F(x) = \frac{{x^4}}{2} + 2x^3 + \frac{{x^2}}{2} + (x + C)$

где $C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ — общая постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функция $F(x)$ для $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1$ имеет вид:

$F(x) = \frac{{x^4}}{2} + 2x^3 + \frac{{x^2}}{2} + x + C$