Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f на данном промежутке: f(x) = 2 sinx + cos2x [0; 2π]​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

найдем экстремумы на отрезке [0; 2π]​

f'(x)=2cosx-2sin2x=2cosx-4cosxsinx=2cosx(1-2sinx)=0

1)cosx=0;   корень на отрезке [0; 2π]​ , x=п/2

2) 1-2sinx=0;  sinx=1/2 ; корни на отрезке [0; 2π]​  x=п/6 ; x=5п/6

определим значения функции на концах отрезка и в экстремумах

f(0) = 2sin0 + cos0=1

f(п/6) = 2sinп/6 + cosп/3=1+0,5=1,5

f(п/2) = 2sinп/2 + cosп=2-1=1

f(5п/6) = 2sin5п/6 + cos5п/3=1

f(2п) = 2sin2п + cos4п=1

наибольшее значение 1,5

наименьшее значение 1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 2sin(x) + cos(2x) на данном промежутке [0, 2π], мы должны найти критические точки и значения функции на границах промежутка.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: f'(x) = 2cos(x) - 2sin(2x)

Установим f'(x) = 0: 2cos(x) - 2sin(2x) = 0

Для удобства решим уравнение относительно sin(2x): sin(2x) = cos(x)

2 * sin(x) * cos(x) = cos(x)

sin(x) * cos(x) - cos(x) = 0

cos(x) * (sin(x) - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два случая: a) cos(x) = 0 b) sin(x) - 1 = 0

a) cos(x) = 0 На промежутке [0, 2π] это происходит при x = π/2 и x = 3π/2.

b) sin(x) - 1 = 0 Это не имеет решений на промежутке [0, 2π].

2. Теперь найдем значения функции на границах промежутка [0, 2π]: f(0) = 2sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1 f(2π) = 2sin(2π) + cos(2 * 2π) = 0 + 1 = 1

3. Посчитаем значения функции в критических точках: f(π/2) = 2sin(π/2) + cos(2 * π/2) = 2 * 1 + cos(π) = 2 - 1 = 1 f(3π/2) = 2sin(3π/2) + cos(2 * 3π/2) = 2 * (-1) + cos(3π) = -2 - 1 = -3

Таким образом, на промежутке [0, 2π], наибольшее значение функции f(x) равно 1, а наименьшее значение равно -3.