Question

Исследовать на сходимость 1) 1/(n(ln^3 n-1)) 2) (((-1)^n)×n)/(5^n (2n+3))

Answer 1

Посмотрите предложенное решение для нижеследующих двух рядов.

Answer 2

Для исследования сходимости данных рядов, воспользуемся несколькими методами, такими как признаки сравнения и признак Даламбера. Для обоих рядов нам потребуются положительные члены ряда, чтобы применить эти признаки.

1. Рассмотрим ряд: 1/(n(ln^3 n-1))

Сначала проверим положительность членов ряда:

Для n >= 2: ln^3 n >= 1, так как ln^3 n - 1 >= 0. Таким образом, 1/(n(ln^3 n-1)) > 0 для всех n >= 2.

Признак сравнения: Для сходимости ряда 1/(n(ln^3 n-1)) будем сравнивать его с рядом гармонического ряда 1/n:

0 < 1/(n(ln^3 n-1)) < 1/n для всех n >= 2.

Гармонический ряд расходится, поэтому исходный ряд тоже расходится.

2. Рассмотрим ряд: (((-1)^n)×n)/(5^n (2n+3))

Сначала проверим положительность членов ряда:

Для n >= 1: n >= 1 и 5^n >= 1, а также 2n + 3 >= 2, следовательно, (((-1)^n)×n)/(5^n (2n+3)) > 0 для всех n >= 1.

Признак Даламбера: Для сходимости ряда (((-1)^n)×n)/(5^n (2n+3)) рассмотрим отношение соседних членов ряда:

D_n = |(a_{n+1}/a_n)| = |((((n+1)(-1)^(n+1))/(5^(n+1) (2n+5))) * ((5^n (2n+3))/(n*(-1)^n)))| = |((-1)^(n+1)(n+1)(2n+3))/((2n+5)n)| * 5

При устремлении n к бесконечности, это отношение равно:

lim (n->∞) D_n = lim (n->∞) |(-1)^(n+1)(n+1)(2n+3)/((2n+5)n)| * 5 = 5

Так как предел отношения D_n равен числу 5 (конечное число), и он меньше 1, то ряд сходится по признаку Даламбера.

Вывод:

1. Ряд 1/(n(ln^3 n-1)) расходится.
2. Ряд (((-1)^n)×n)/(5^n (2n+3)) сходится.