Question

Докажите, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса его угла, противолежащего этой стороне, пересе- каются в точке окружности, описанной около этого треугольника. СРОЧНО!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Доказательство того, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса угла, противолежащего этой стороне, пересекаются на окружности, описанной вокруг этого треугольника, можно разделить на несколько шагов.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона BC противолежит углу A, а AM - биссектриса этого угла, а MP - серединный перпендикуляр к стороне BC (M - середина стороны BC).

Шаг 1: Покажем, что точка M лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Для этого нужно доказать, что AM = MC.

1.1) Для начала рассмотрим угол ABC и угол AMC. Угол ABC и угол AMC - это вертикальные углы и, следовательно, они равны между собой.

1.2) Затем рассмотрим угол ACB и угол AMB. Они также являются вертикальными углами и равны между собой.

Теперь у нас есть две пары равных углов: ABC = AMC и ACB = AMB.

Из равенства углов следует, что треугольники AMC и AMB подобны по двум углам (по 2 углам равны), так как угол между сторонами треугольника является уникальным для каждой пары подобных треугольников.

1.3) Так как треугольники AMC и AMB подобны, то и отношение длин сторон треугольников должно быть равно: AM / MC = AM / MB.

1.4) Заметим, что AM / MC = AM / MB равносильно AM * MB = AM * MC.

1.5) Отсюда следует, что MB = MC, так как AM является ненулевой длиной (биссектриса не нулевая) и может быть сокращена с обеих сторон.

Шаг 2: Покажем, что точка P (точка пересечения биссектрисы угла и серединного перпендикуляра) лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

2.1) Так как AM = MC (как мы доказали в шаге 1), то MP - это медиана треугольника AMC.

2.2) Медиана треугольника проходит через центр описанной окружности этого треугольника. Поэтому точка P (точка пересечения биссектрисы и медианы) лежит на окружности.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса угла, противолежащего этой стороне, пересекаются в точке окружности, описанной около этого треугольника.