Question

Каким числом способов полоску 2×8 клеток можно полностью покрыть прямоугольниками 1×2 клетки? С решением, пожалуйста

Answer 1

2*8=16 клеток

1*2=2 клетки

Квадрат 2*2 может содержать 2 варианта размещения полоски 1*2 горизонтально или вертикально

Прямоугольник 2*8 содержит 4 квадрата 2*2

Итого 4*2*2 =16 вариантов

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся методом динамического программирования. Обозначим через dp[n] количество способов полностью покрыть прямоугольник размером 2×n клеток прямоугольниками 1×2 клетки.

При разборе задачи, заметим следующее:

1. Базовый случай: dp[0] = 1 (пустой прямоугольник можно покрыть одним способом - ничем).
2. dp[1] = 1 (прямоугольник 2×1 можно покрыть только одним способом - одним прямоугольником 1×2).
3. dp[2] = 2 (прямоугольник 2×2 можно покрыть двумя способами - двумя прямоугольниками 1×2 или одним прямоугольником 2×1).

Теперь для n > 2 рассмотрим, как можно дополнить прямоугольник 2×(n-2) до прямоугольника 2×n:

• Можем добавить прямоугольник 1×2 справа. Тогда останется прямоугольник 2×(n-2), который мы уже рассчитали ранее. Количество способов для этой комбинации будет dp[n-2].
• Можем добавить прямоугольник 2×1 справа. В этом случае слева останется прямоугольник 2×(n-1), который также уже рассчитали ранее. Количество способов для этой комбинации будет dp[n-1].

Таким образом, dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2].

Итак, решим задачу для n = 8:

1. Инициализация: dp[0] = 1 dp[1] = 1 dp[2] = 2

2. Расчет значения для n = 3 до n = 8: dp[3] = dp[2] + dp[1] = 2 + 1 = 3 dp[4] = dp[3] + dp[2] = 3 + 2 = 5 dp[5] = dp[4] + dp[3] = 5 + 3 = 8 dp[6] = dp[5] + dp[4] = 8 + 5 = 13 dp[7] = dp[6] + dp[5] = 13 + 8 = 21 dp[8] = dp[7] + dp[6] = 21 + 13 = 34

Ответ: Количество способов полностью покрыть прямоугольник 2×8 клеток прямоугольниками 1×2 клетки равно 34.