Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4-8x^2+13 на числовом отрезке [1,3]

Answer 1

производная у'=4х^3-16х

приравниваем к 0, находим корни: х1=-2 х2=0 х3=2

интервалами находим что f(x) убывает от 0 до 2 и возрастает от 2

значит наименьшее значение в 2:

у=-3 а наибольшее нужно посмотреть на концах отрезка f(1)=6 f(3)=22 значит 22

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 8x^2 + 13$ на числовом отрезке $[1, 3]$, мы должны рассмотреть значения функции на границах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

1. Значения на границах отрезка: Подставим $x = 1$ и $x = 3$ в функцию $y = x^4 - 8x^2 + 13$: При $x = 1$: $y = 1^4 - 8 \cdot 1^2 + 13 = 1 - 8 + 13 = 6$

   При $x = 3$: $y = 3^4 - 8 \cdot 3^2 + 13 = 81 - 72 + 13 = 22$

2. Найдем критические точки внутри отрезка: Критические точки соответствуют значениям $x$, при которых производная функции равна нулю.

   Найдем производную функции $y = x^4 - 8x^2 + 13$: $y' = 4x^3 - 16x$

   Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $4x^3 - 16x = 0$ $4x(x^2 - 4) = 0$

   Получаем два корня: $x = 0$ и $x = \pm 2$.

3. Теперь подставим найденные критические точки в функцию $y = x^4 - 8x^2 + 13$ и найдем соответствующие значения:

   При $x = 0$: $y = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 13 = 13$

   При $x = 2$: $y = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$

   При $x = -2$: $y = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$

Таким образом, наибольшее значение функции $y = x^4 - 8x^2 + 13$ на отрезке $[1, 3]$ равно 22 (достигается при $x = 3$), а наименьшее значение равно -3 (достигается при $x = 2$ или $x = -2$).