Question

ЕГЭ, профильная математика (18 - задача с параметром) Пожалуйста, помогите решить систему алгебраически. Сама система:x^4 - y^4=6a-7;x^2+y^2=a.Нужно найти такие значения параметра а, чтобы система имела 4 решения.Вообще, я при решении разложила x^4 - y^4=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) и заменила (x^2 + y^2)=аПолучила: (x^2 - y^2)а=6а-7, а дальше что делать не знаю. Пока писала вопрос решила произвести еще одну замену: Т.к. x^2=a - y^2, то из (x^2 - y^2)а=6а-7 получила (а - 2y^2)а=6а-7а^2 - 2ay^2=6а-7 а^2 - 2ay^2 - 6а + 7=0а^2 - а(2y^2 + 6) + 7=0Потом дискриминант нашла, а надо ли?Что дальше? Я вообще в правильном направлении иду?Так же из системы понятно, а >= 0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x^4 - y^4=6a-7;

x^2+y^2=a.

Можно сравнить выражения a^2 и +-(6a-7)

И проверить через онлайн построение графиков

http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php

Answer 3

Да, вы правильно идете в решении системы. Давайте продолжим и найдем значения параметра "а", чтобы система имела 4 решения.

Вы получили квадратное уравнение относительно "y^2":

а^2 - а(2y^2 + 6) + 7 = 0

Для того чтобы система имела 4 решения, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положительным. Итак, давайте найдем дискриминант:

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = -2a - 6, и c = 7.

D = (-2a - 6)^2 - 4 * 1 * 7 D = 4a^2 + 24a + 36 - 28 D = 4a^2 + 24a + 8

Теперь чтобы система имела 4 решения, D > 0:

4a^2 + 24a + 8 > 0

Сократим выражение на 4:

a^2 + 6a + 2 > 0

Теперь решим это неравенство. Можно заметить, что коэффициент перед "а^2" положительный, так что у нас будет "вверху" открывающийся парабола.

Для того чтобы найти интервалы значений "а", удовлетворяющие неравенству, найдем корни уравнения a^2 + 6a + 2 = 0, которые будут точками пересечения графика параболы с осью "а".

Решим уравнение a^2 + 6a + 2 = 0 используя квадратное уравнение:

D = 6^2 - 4 * 1 * 2 = 36 - 8 = 28

Так как D > 0, у нас будут два различных вещественных корня:

a = (-6 + √28) / 2 ≈ -1.82 a = (-6 - √28) / 2 ≈ -4.18

Таким образом, для того чтобы система имела 4 решения, "а" должно находиться в интервале (-4.18, -1.82) или (больше или равно) "а" >= -1.82.

Пожалуйста, обратите внимание, что это условие на параметр "а" не гарантирует, что система будет иметь 4 решения, но без него система точно не будет иметь 4 решения. Чтобы убедиться, что система именно имеет 4 решения, нужно провести более детальное исследование, что выходит за рамки данной задачи.