Question

Решить дифференциальные уравнения: 1)y'=y/x + x^2/y^2 2)xyy'=1+x^2 3)y'=y/x+ e^y/x

Answer 1

Ответ: photo.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения каждого из данных дифференциальных уравнений, мы будем искать общее решение. Давайте по очереди рассмотрим каждое уравнение.

1. y' = y/x + x^2/y^2

Для начала, давайте заменим y' на dy/dx:

dy/dx = y/x + x^2/y^2

Теперь перенесем все члены с y на одну сторону, а члены с x на другую:

y^2 dy = (y/x + x^2) dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ y^2 dy = ∫ (y/x + x^2) dx

Интегрирование левой части:

∫ y^2 dy = (1/3) y^3 + C1

Интегрирование правой части:

∫ (y/x + x^2) dx = ∫ (y/x) dx + ∫ x^2 dx = ∫ (y/x) dx + (1/3) x^3 + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения:

(1/3) y^3 + C1 = ∫ (y/x) dx + (1/3) x^3 + C2

2. xy y' = 1 + x^2

Для начала, давайте заменим y' на dy/dx:

xy dy/dx = 1 + x^2

Теперь выразим dy/dx:

dy/dx = (1 + x^2) / x

Теперь разделим на y и переместим члены:

y dy = (1 + x^2) / x dx

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫ y dy = ∫ (1 + x^2) / x dx

Интегрирование левой части:

(1/2) y^2 + C3

Интегрирование правой части:

∫ (1 + x^2) / x dx = ∫ (x^2 / x + 1 / x) dx = ∫ (x + 1/x) dx = (1/2) x^2 + ln|x| + C4

где C3 и C4 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения:

(1/2) y^2 + C3 = (1/2) x^2 + ln|x| + C4

3. y' = y/x + e^(y/x)

Данное дифференциальное уравнение не является линейным и не разделяется переменные. Решение этого уравнения можно получить численными методами или методами рядов Тейлора. Например, можно использовать численные методы, такие как метод Эйлера или метод Рунге-Кутты, чтобы приближенно найти решение.

Или, если требуется разложение в ряд Тейлора, можно представить y в виде бесконечного ряда:

y(x) = a_0 + a_1 * (x - x_0) + a_2 * (x - x_0)^2 + a_3 * (x - x_0)^3 + ...

Подставим это в уравнение и соберем коэффициенты:

y' = a_1 + 2 * a_2 * (x - x_0) + 3 * a_3 * (x - x_0)^2 + ...

Теперь заменим y' и y/x на разложение:

a_1 + 2 * a_2 * (x - x_0) + 3 * a_3 * (x - x_0)^2 + ... = (a_0 + a_1 * (x - x_0) + a_2 * (x - x_0)^2 + ...) / x + e^((a_0 + a_1 * (x - x_0) + a_2 * (x - x_0)^2 + ...) / x)

В этом случае, решение представляется в виде ряда Тейлора с неизвестными коэффициентами a_0, a_1, a_2, ...

Заметим, что аналитическое решение в общем виде для данного уравнения может быть достаточно сложным и может потребовать более специализированных методов для его нахождения.