Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^2/x+1 на отрезке [-0.5;1]

Answer 1

Ответ:0,5 и -4

Пошаговое объяснение:

f(x)=(x^2)/x+1

Формула

(U/V)'=(U'V-UV')/V^2

((x^2)/x+1)'=((x^2)'*(x+1)-x^2(x+1)')/(x+1)^2

((x^2)/x+1)'=(2*x(x+1)-x^2)/(x+1)^2

((x^2)/x+1)'=(2x^2+2x-x^2)/(x+1)^2

((x^2)/x+1)'=x^2+2x

f'(x)=x(x+2)=0

x=0,x=-2

чертим прямую расставляем знаки

подставим число 1 в производную ,чтобы узнать знак

1*(1+2)=3>0 значит +,теперь расставляем знаки (чередуем их)

++++_._------____._+++

       (-2)               0

теперь нам известны минимум и максимум функции,подставляем эти значения в функцию,вместо x и смотрим,что больше,также подставляем значения из квадратных скобок(границы)

так y(-2)=-4

y(0)=0

y(-0,5)=0.5

y(1)=0.5

все теперь сравниваем и пишем ответ.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ на отрезке $[-0.5, 1]$, нужно найти критические точки функции внутри данного интервала и значения функции на концах интервала, а затем сравнить их.

Шаг 1: Найдем критические точки функции внутри интервала $[-0.5, 1]$. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

Производная функции $f'(x)$ равна:

$f'(x) = \frac{(x+1) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0$

Критической точкой будет только $x = -2$, так как знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен, и он не может быть равен нулю.

Шаг 2: Проверим значения функции $f(x)$ на концах интервала $[-0.5, 1]$ и в найденной критической точке $x = -2$.

$f(-0.5) = \frac{(-0.5)^2}{-0.5 + 1} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5$

$f(1) = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2} = 0.5$

$f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$

Шаг 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение из полученных значений.

Наименьшее значение функции равно -4 (достигается в критической точке $x = -2$), а наибольшее значение функции равно 0.5 (достигается на концах интервала $[-0.5, 1]$).

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ на отрезке $[-0.5, 1]$ равно 0.5, а наименьшее значение равно -4.