Question

Решение дифф. ур.:y''''-2y''+y=8(e^x+e^(-x))+4(sinx+cosx)Проблема с общим решением.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Здесь нужно использовать теорему о суперпозиции.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем его общее решение. Уравнение имеет вид:

y'''' - 2y'' + y = 8(e^x + e^(-x)) + 4(sin(x) + cos(x))

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения y'''' - 2y'' + y = 0, предположим, что y имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

r^4e^(rt) - 2r^2e^(rt) + e^(rt) = 0

Теперь разделим на e^(rt):

r^4 - 2r^2 + 1 = 0

Это уравнение можно решить как квадратное относительно r^2:

(r^2 - 1)^2 = 0

Из этого уравнения получаем два корня:

r^2 = 1 r1 = 1, r2 = -1

Таким образом, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

y_h(t) = C1e^t + C2e^(-t) + C3te^t + C4te^(-t)

где C1, C2, C3 и C4 - произвольные константы.

Теперь перейдем к поиску частного решения неоднородного уравнения. Поскольку в правой части уравнения стоят суммы экспоненциальных и тригонометрических функций, попробуем частное решение в виде:

y_p(x) = Ae^x + Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x)

Теперь найдем производные второго порядка от y_p(x):

y_p''(x) = Ae^x - Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x) y_p''''(x) = Ae^x + Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x)

Подставим y_p(x) и все его производные обратно в исходное уравнение:

(Ae^x + Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x)) - 2(Ae^x - Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x)) + (Ae^x + Be^(-x) + Csin(x) + Dcos(x)) = 8(e^x + e^(-x)) + 4(sin(x) + cos(x))

Упростим:

2Ae^x + 2Be^(-x) + 2Csin(x) + 2Dcos(x) = 8(e^x + e^(-x)) + 4(sin(x) + cos(x))

Сравнивая коэффициенты при соответствующих функциях, получим систему уравнений:

2Ae^x + 2Be^(-x) = 8(e^x + e^(-x)) 2Csin(x) + 2Dcos(x) = 4(sin(x) + cos(x))

Решим систему уравнений:

1. 2A = 8 => A = 4
2. 2B = 8 => B = 4
3. 2C = 4 => C = 2
4. 2D = 4 => D = 2

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p(x) = 4e^x + 4e^(-x) + 2sin(x) + 2cos(x)

И окончательное общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1e^x + C2e^(-x) + C3xe^x + C4xe^(-x) + 4e^x + 4e^(-x) + 2sin(x) + 2cos(x)

где C1, C2, C3 и C4 - произвольные константы.