Question

Решение через тригонометрические отношения в треугольнике. a) Стороны равностороннего треугольника 12 см. Найдите высоту треуголь- ника. b) В равнобедренном треугольнике угол при основании 30º, а основание 10√3. 1. Найдите высоту треугольника 2. Найдите длину боковых сторон треугольника c) Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из острых углов треугольника равен 45º, а один из катетов 5 см.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим каждую из задач, используя тригонометрические отношения.

a) Высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Таким образом, можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту.

Пусть h - высота треугольника, а s - длина стороны треугольника. Тогда с помощью теоремы Пифагора для одного из половинок равностороннего треугольника: (1/2 * s)^2 + h^2 = s^2

Упростим выражение: 1/4 * s^2 + h^2 = s^2 h^2 = s^2 - 1/4 * s^2 h^2 = 3/4 * s^2

Теперь подставим значение s: h^2 = 3/4 * 12^2 h^2 = 3/4 * 144 h^2 = 108 h = √108 h ≈ 10.392 см

b) В равнобедренном треугольнике с углом при основании 30º углы у основания равны 75º (потому что сумма углов треугольника равна 180º). Так как у треугольника есть две равные стороны, то у нас есть два равнобедренных треугольника с углами 30º-75º-75º.

1. Найдем высоту треугольника (то есть высоту одного из равнобедренных треугольников). Обозначим высоту как h.

В прямоугольном треугольнике с углами 30º-60º-90º, где h - это высота, a - это катет против угла 30º, а b - это катет против угла 60º, справедливы следующие тригонометрические отношения: sin(30º) = a / h cos(30º) = b / h

sin(30º) = 1/2 cos(30º) = √3/2

Теперь найдем h: h = a / sin(30º) h = 10√3 / (1/2) h = 10√3 * 2 h = 20√3

Таким образом, высота треугольника равна 20√3.

2. Найдем длину боковых сторон треугольника. Поскольку у нас есть два равнобедренных треугольника, то две боковых стороны будут иметь одинаковую длину.

В прямоугольном треугольнике с углами 30º-60º-90º, где a - это катет против угла 30º, b - это катет против угла 60º, и c - это гипотенуза, справедливо следующее тригонометрическое отношение: c = 2a

Таким образом, длина боковых сторон треугольника равна: боковые стороны = 2 * 10√3 = 20√3.

c) Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с углом 45º и катетом 5 см. Обозначим гипотенузу как c и катеты как a и b.

В прямоугольном треугольнике с углом 45º, справедливы следующие тригонометрические отношения: sin(45º) = a / c cos(45º) = b / c

sin(45º) = cos(45º) = √2 / 2

Теперь найдем гипотенузу c: c = a / sin(45º) c = 5 / (√2 / 2) c = 5 * (2 / √2) c = 5√2

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5√2 см.