Question

Среди 111 монет часть – настоящие и весят одинаково, а остальные – фальшивые и тоже весят одинаково, но они легче настоящих. Монеты разложили на чашечные весы, на левую чашку – 60 монет, на правую – 51 монету, и весы пришли в равновесие. Какое а) наименьшее; б) набольшее число фальшивых монет могло быть? В каждом случае определите, во сколько раз фальшивая монета легче настоящей.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а)очевидно, что меньше 10 фальшивых монет быть не могло, так как в левой чаще было бы больше или равно 51 настоящей монеты и равновесия мы добиться не могли. Покажем, что возможен вариант 10 фальшивых и 101 настоящая.

Все фальшивые кладём на левую чашу, получаем:

10*вес_фальшивой+50*вес_настоящей=51*вес_настоящей

10*вес_фальшивой/вес_настоящей+50=51

Отсюда получаем, что фальшивая в 10 раз легче настоящей.

б)очевидно, что 111 фальшивых монет быть не могло(ибо чаши бы не уравновесились), покажем что возможен вариант 110 фальшивых и 1 настоящая. Тогда, так как чаши уравновесились, то единственную настоящую монету мы положили на правую чашу:

60*вес_фальшивой=50*вес_фальшивой+1*вес_настоящей

60-50=вес_настоящей/вес_фальшивой

Тогда настоящая монета в 10 раз тяжелее фальшивой.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба случая:

а) Наименьшее число фальшивых монет:

Наименьшее число фальшивых монет, которое может быть в данной ситуации - это 1. Предположим, что у нас есть только одна фальшивая монета. Тогда на левой чашке весов у нас будет 60 настоящих монет, а на правой - 50 настоящих и 1 фальшивая монета. Поскольку все монеты одинакового веса, весы будут в равновесии.

б) Наибольшее число фальшивых монет:

Пусть х - количество фальшивых монет среди 111 монет. Тогда оставшиеся (111 - х) монет будут настоящими.

На левой чашке весов у нас будет х настоящих монет и (60 - х) фальшивых монет. На правой чашке будет (51 - х) настоящая монета и (х - 9) фальшивых монет.

Так как вес фальшивой монеты меньше веса настоящей, чтобы весы оставались в равновесии, количество фальшивых монет на левой чашке должно быть равно количеству фальшивых монет на правой чашке.

Таким образом, у нас есть уравнение:

(60 - х) = (х - 9)

Решим его:

60 - х = х - 9 2х = 69 х = 69 / 2 х = 34,5

Так как количество монет должно быть целым числом, мы не можем иметь 34,5 фальшивых монеты. Следовательно, наибольшее возможное количество фальшивых монет в этой ситуации - это 34, при этом настоящих монет будет (111 - 34) = 77.

Во сколько раз фальшивая монета легче настоящей:

Поскольку у нас 34 фальшивых монеты и 77 настоящих, разделим число настоящих монет на число фальшивых:

77 настоящих / 34 фальшивых ≈ 2.26 (округленно до двух знаков)

Таким образом, фальшивая монета легче настоящей примерно в 2.26 раза.