Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K и L— центры граней BB1C1C и A1B1C1D1 соответственно. Пусть M— середина ребра CD. Найдите котангенс угла между прямыми MD1 и KL, если известно, что AB=2AA1.

Answer 1

Пусть A- начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Пусть AA1= a

Тогда AB = 2a

Пусть AD = b

Координаты точек

M (a;b;0)

D1(0;b;a)

K(2a;b/2;a/2)

L(a;b/2;a)

Вектора

MD1 ( -a;0;a)

KL ( -a;0;a/2)

Косинус угла между MD1 и KL равен

| MD1 * KL | / | MD1 | / | KL | = (a^2+a^2/2) / √2a / (√(5a/4)) = 3/√10

Cинус = √(1 - 9/10) = 1/√10

Котангенс искомого угла =  (3/√10) /  (1 /√10 ) = 3

Answer 2

Чтобы найти котангенс угла между прямыми MD1 и KL, начнем с анализа геометрии данной фигуры.

Обозначим центр параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 как O. Так как K и L являются центрами граней, то KL является вектором, соединяющим центры противоположных граней параллелепипеда.

Так как M — середина ребра CD, то OM делит CD пополам, и OM || CD1. Также OM делит KL пополам (так как KL соединяет центры противоположных граней), и OM || KL.

Поскольку OM || KL, угол между прямыми MD1 и KL равен углу между MD1 и OM. Таким образом, мы можем сосредоточиться на нахождении угла между MD1 и OM.

Теперь рассмотрим треугольник OMD1. Мы знаем, что OM делит CD пополам, и MD1 || CD, поэтому треугольник OMD1 - это треугольник средней линии.

Так как в параллелограмме средняя линия равна половине диагонали, то MD1 = (1/2) * OМ.

Также, поскольку AB = 2 * A1B1 (данное условие), центры противоположных граней параллелепипеда разделены в отношении 1:2. То есть, KL = 2 * OM.

Теперь мы можем найти тангенс угла между MD1 и KL, используя отношение сторон в треугольнике OMD1:

тангенс угла MD1KL = MD1 / KL = (1/2 * OM) / (2 * OM) = 1 / 4.

И, наконец, чтобы найти котангенс, мы можем использовать тождество: котангенс угла = 1 / тангенс угла.

Таким образом, котангенс угла между прямыми MD1 и KL равен 4.