Question

В N-ичной системе счисления число ABCABCобязательно делится на 7. При каком наименьшем N это возможно?

Answer 1

Ответ:  N = 10

Т.к. в N-ичной системе счисления присутствует число 7 (и, соответственно, цифра 7), то основание системы больше 7, т.е. N > 7.

$\frac{}{ABCABC} _N=(A*N^5+B*N^4+C*N^3+A*N^2+B*N^1+C*N^0)_{10}=(N^3+1)(A*N^2+B*N+C)_{10}$

Так как 7 - простое число, то надо рассмотреть 2 случая: 1) $(N^3+1)_{10}\:\vdots \: 7_{10}$ 2) $(A*N^2+B*N+C)_{10}\:\vdots \: 7_{10}$ ∀ цифр A, B, C < N

1) $N^3+1 \equiv 0\: (mod\: 7)\\ N^3 \equiv 6\: (mod\: 7)$

Представим N в виде x+7k, где k,x∈N∪{0}, x∈[0,6]. Подставим:

$></p> <p>Последовательно подставляя все возможные значения x в полученное уравнение, получаем, что оно верно при x = 3, x = 5 и x = 6.</p> <p>Получаем 3 серии решений: <strong>N = 3 + 7k, N = 5 + 7k, N = 6 + 7k, k∈N</strong>, откуда наименьшее N в данном случае, с учетом условия <strong>N > 7</strong>, равно 3 + 7 = <strong>10</strong></p> <p>2) Так как утверждение должно быть верно для ∀ цифр A, B, C < N, то оно будет верно и для наборов (1, 0, 0) и (1, 0, 1).</p> <p>Тогда: <img src=$

При этом $0\not\equiv 6\:(mod\:7)$. Значит система сравнений не имеет решений. А значит не существует такого N, чтобы условие выполнялось

Значит и ответом будет N = 10

Answer 2

Чтобы число ABCABC делится на 7 в N-ичной системе счисления, необходимо, чтобы сумма его цифр была кратна 7. В числе ABCABC, каждая цифра A, B и C представляет свое значение, а не одинаковы, поэтому сумма цифр этого числа равна 2A + 2B + 2C = 2(A + B + C).

Мы хотим найти наименьшее N, при котором 2(A + B + C) делится на 7. Наименьший вариант для A, B и C - это 1, поэтому A = B = C = 1. Тогда 2(A + B + C) = 2(1 + 1 + 1) = 6.

Теперь нужно найти наименьшее N, при котором 6 делится на 7. Такого N не существует, потому что 6 является наименьшим числом, которое не делится на 7.

Таким образом, число ABCABC обязательно делится на 7 в любой N-ичной системе счисления, и наименьшее возможное N не существует.