Question

Найти площадь треугольника вершины которого находятся А(-1;2;2), В(2,1,-1), С(1.-2,3)

Answer 1

Найдем координаты векторов AB, AC

$\overline{AB}=\{2-(-1);1-2;-1-2\}=\{3;-1;-3\}\\ \overline{AC}=\{1-(-1);-2-2;3-2\}=\{2;-4;1\}$

Площадь треугольника через векторное произведение векторов

$S=\dfrac{1}{2}\left| \overline{AB}\times\overline{AC}\right|$

Подсчитаем векторное произведение векторов:

$\overline{AB}\times \overline{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ 3&-1&-3\\ 2&-4&1\end{array}\right|=\overline{i}\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}-1&-3\\ -4&1\end{array}\right|+\overline{j}\cdot (-1)^{1+2}\cdot \\ \\ \cdot\left|\begin{array}{ccc}3&-3\\ 2&1\end{array}\right|+\overline{k}\cdot (-1)^{1+3}\cdot\left|\begin{array}{ccc}3&-1\\ 2&-4\end{array}\right|=\overline{i}(-1-12)-\overline{j}(3+6)+\overline{k}(-12+2)=\\ \\ \\ =-13\overline{i}-9\overline{j}-10\overline{k}=\{-13;-9;-10\}$

$\left|\overline{AB}\times\overline{AC}\right|=\sqrt{(-13)^2+(-9)^2+(-10)^2}=\sqrt{350}=5\sqrt{14}$

Окончательно имеем $S=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}$ кв. ед.

Answer 2

Ответ:

$S_{\triangle ABC}=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ квадратных единиц

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Здесь используется формула для вычисления площади треугольника по векторному произведению

Answer 3

Для нахождения площади треугольника по его вершинам можно воспользоваться формулой площади Герона. Однако перед этим нам необходимо вычислить длины сторон треугольника.

Длина стороны треугольника AB: AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²) AB = √((2 - (-1))² + (1 - 2)² + (-1 - 2)²) AB = √(3² + (-1)² + (-3)²) AB = √(9 + 1 + 9) AB = √19

Длина стороны треугольника BC: BC = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²) BC = √((1 - 2)² + (-2 - 1)² + (3 - (-1))²) BC = √((-1)² + (-3)² + 4²) BC = √(1 + 9 + 16) BC = √26

Длина стороны треугольника AC: AC = √((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²) AC = √((1 - (-1))² + (-2 - 2)² + (3 - 2)²) AC = √(2² + (-4)² + 1²) AC = √(4 + 16 + 1) AC = √21

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу площади Герона:

Полупериметр треугольника (s): s = (AB + BC + AC) / 2 s = (√19 + √26 + √21) / 2

Площадь треугольника (S): S = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) S = √((√19 + √26 + √21) / 2 * ((√19 + √26 + √21) / 2 - √19) * ((√19 + √26 + √21) / 2 - √26) * ((√19 + √26 + √21) / 2 - √21))

Вычислим значение выражения:

S ≈ 7.40 квадратных единиц.

Таким образом, площадь треугольника, образованного вершинами A(-1,2,2), B(2,1,-1) и C(1,-2,3), равна примерно 7.40 квадратных единиц.