Question

Окружность касается стороны AB угла BAC, равного 45(гр), и пересекает сторону AC в точках M и C так, что AM=MC=a. Найдите радиус окружности Помогитеее((

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство касательной и хорды окружности.

Обозначим радиус окружности как R. По условию, окружность касается стороны AB угла BAC, а это значит, что точка касания, обозначим ее как T, лежит на перпендикулярной линии, проходящей через центр окружности и перпендикулярной к стороне AB.

Соединим точку T с центром окружности O и с вершиной угла B. Так как треугольник BTO прямоугольный (по свойству касательной и радиуса, перпендикулярного касательной), то угол BTO равен 90°.

Теперь, поскольку угол BAC равен 45°, угол BAT также равен 45° (угол BAT и угол BAC - смежные, так что их сумма равна 90°).

Так как угол BAT равен 45°, а угол BTO равен 90°, то угол BTA равен 45° (угол BTA - смежный с углом BTO).

Итак, у нас получился равнобедренный прямоугольный треугольник BTA.

Теперь рассмотрим треугольник OMT, где M - точка пересечения окружности с стороной AC, а T - точка касания окружности с AB.

Треугольник OMT - также прямоугольный. Так как TO является высотой равнобедренного треугольника BTA, а ОТ - это радиус окружности, то ТО = ТМ = R, где R - радиус окружности.

Также у нас есть равенство AM = MC = a.

Из равенства AM = MC и того факта, что ТМ = ТО = R, следует, что AT = TO - TM = R - a.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник AMT:

AM^2 + AT^2 = MT^2.

Подставим значения:

a^2 + (R - a)^2 = R^2.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

a^2 + R^2 - 2aR + a^2 = R^2.

2a^2 - 2aR = 0.

Вынесем общий множитель:

2a(a - R) = 0.

Так как a не может быть равно нулю (по условию задачи) и равенство а(a - R) = 0, то это значит, что (a - R) = 0.

Следовательно, a = R.

Таким образом, радиус окружности R равен a.