Question

Решить уравнение sin(5x) + sin(x) + 2sin^2(x) = 1

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения уравнения sin(5x) + sin(x) + 2sin^2(x) = 1, нужно следовать определенным шагам:

1. Преобразование уравнения с использованием тригонометрических тождеств.
2. Приведение уравнения к квадратному уравнению с помощью подстановки.
3. Решение полученного квадратного уравнения.
4. Проверка полученных корней в исходном уравнении.

Давайте начнем:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем тригонометрические тождества:

sin(5x) = sin(3x + 2x) = sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x)

sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Теперь заменим sin(5x) и sin^2(x) в исходном уравнении:

(sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x)) + sin(x) + 2((1 - cos(2x)) / 2) = 1

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному уравнению

Упростим уравнение:

sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) + sin(x) + 1 - cos(2x) = 1

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) + sin(x) - cos(2x) = 0

Теперь заменим sin(3x) и cos(2x) с помощью тригонометрических тождеств:

(3sin(x) - 4sin^3(x)) * (1 - 2sin^2(x)) + 2sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 0

Шаг 3: Преобразование в квадратное уравнение

Заметим, что 2sin(x)cos(x) = sin(2x). Подставим это обратно:

(3sin(x) - 4sin^3(x)) * (1 - 2sin^2(x)) + sin(2x) - cos^2(x) = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Пусть t = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

(3t - 4t^3)(1 - 2t^2) + sin(2x) - (1 - t^2) = 0

Раскроем скобки:

3t - 4t^3 - 6t^3 + 8t^5 + sin(2x) - 1 + t^2 = 0

8t^5 - 10t^3 + 4t + sin(2x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно t^2:

8t^5 - 10t^3 + 4t + sin(2x) - 1 = 0

Найдем корни этого уравнения, затем найдем значения t и, наконец, найдем значения x (sin(x) = t), используя обратную подстановку. Обычно такое уравнение решается численно, так как аналитическое решение может быть сложным.

Если вы хотите найти приближенные значения корней, можете воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции.