Question

В треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M—середина ребра SA, точка K— середина ребра SB,O— точка пересечения медиан основания. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если пирамида правильная, SC=6, AB=4.

Answer 1

Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВС по оси Оу.

Определяем координаты точек плоскостей CMK и ABC.

Но сначала надо определить высоту пирамиды Н:

Н = √(6² - ((2/3)*(4*√3/2))²) = √(92/3).

А(2√3; 2; 0), В(0; 0; 0), С(0; 4; 0).

С(0; 4; 0), М(4√3/3; 2; (√92/2√3)), К(√3/3; 1; (√92/2√3)).

По трём точкам находим уравнения плоскостей АВС и СМК.

АВС: -13,8564z  = 0.

СМК: 2,76887x - 4,79583y - 5,7735z + 19,1833 = 0 .

 

                 |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                        0 + 0 - 13,8564

cos α =   ----------------------------------------------------- =  ---------------------------- =

     √(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)       √192 * √64

          = 0,721688.

Угол равен arc cos 0,721688 = 0,76456 радиан  = 43,806 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с геометрическими свойствами правильной треугольной пирамиды и воспользуемся ними.

1. Правильная треугольная пирамида имеет все грани равносторонние треугольники.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.

Исходя из этой информации, давайте найдем координаты точек M, K и O и затем рассчитаем угол между плоскостью CMK и плоскостью ABC.

Предположим, что вершина S находится в начале координат (0, 0, 0). Тогда вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

A(0, 2, 0), B(-√3, -1, 0), C(√3, -1, 0), и S(0, 0, 6).

1. Найдем координаты точки M - середины ребра SA: M = (0/2, 0/2, (0+6)/2) = (0, 0, 3).

2. Найдем координаты точки K - середины ребра SB: K = (0/2, (2-1)/2, (0+6)/2) = (0, 0.5, 3).

3. Найдем координаты точки O - точки пересечения медиан основания ABC: О, согласно свойствам правильной треугольной пирамиды, будет совпадать с центром масс основания ABC, так как это пересечение медиан. Найдем среднее арифметическое координат вершин A, B и C: O = [(0 + (-√3) + √3)/3, (2 + (-1) + (-1))/3, (0 + 0 + 0)/3] = (0, 0, 0).

Теперь у нас есть координаты точек M, K и O. Чтобы найти векторы CM, CK и их векторное произведение, а затем вычислить угол между плоскостями CMK и ABC, выполним следующие шаги:

1. Вектор CM: CM = M - C = (0, 0, 3) - (√3, -1, 0) = (-√3, 1, 3).

2. Вектор CK: CK = K - C = (0, 0.5, 3) - (√3, -1, 0) = (-√3, 1.5, 3).

3. Найдем векторное произведение векторов CM и CK: CM x CK = (-√3, 1, 3) x (-√3, 1.5, 3).

4. Вычислим угол между векторами CM и CK: cos(θ) = (CM * CK) / (|CM| * |CK|).

5. Найдем угол θ с помощью арккосинуса: θ = arccos(cos(θ)).

После вычислений получим угол θ, который будет искомым углом между плоскостями CMK и ABC.