Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения (1+e^x)*y’=y(e^x) помогите плиз

Answer 1

Ответ: y/(1+eˣ)=C.

Пошаговое объяснение:

Перепишем уравнение в виде (1+eˣ)*dy/dx=y*eˣ. Это уравнение с разделяющимися переменными, которое приводится к виду dy/y=eˣ*dx/(1+eˣ), или dy/y-d(1+eˣ)/(1+eˣ). Интегрируя обе части, получаем ln(y)-ln(1+eˣ)=ln(C), или y/(1+eˣ)=C.

Проверка:

y=C*(1+eˣ), y'=C*eˣ, (1+eˣ)*C*eˣ=C*(1+eˣ)*eˣ. Так как получено тождество, то решение найдено верно.

Answer 2

Ответ:   $y=C(1+e^{x})$ .

Пошаговое объяснение:

$(1+e^{x})\cdot y'=y\cdot e^{x}\\\\(1+e^{x})\cdot \frac{dy}{dx}=y\cdot e^{x}\\\\(1+e^{x})\cdot dy=y\cdot e^{x}\cdot dx\; \Big |:(y\cdot (1+e^{x}))\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{e^{x}\cdot dx}{1+e^{x}}\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{d(1+e^{x})}{1+e^{x}}\\\\ln|y|=ln|1+e^{x}|+lnC\\\\lny=ln(C\cdot (1+e^{x}))\\\\y=C(1+e^{x})$

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем воспользоваться методом разделяющихся переменных. Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

(1 + e^x) * y' = y * e^x

Теперь разделим уравнение на (1 + e^x) * y:

y' / y = e^x / (1 + e^x)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ (1/y) dy = ∫ (e^x / (1 + e^x)) dx

Левая часть интеграла представляет собой интеграл от дроби, а правая часть может быть упрощена. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности:

1. Интеграл ∫ (1/y) dy:

∫ (1/y) dy = ln|y| + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

2. Интеграл ∫ (e^x / (1 + e^x)) dx:

Для упрощения правой части, давайте введем замену переменных: u = 1 + e^x.

Тогда, du/dx = e^x и dx = (1/u) * du.

Подставим это в интеграл:

∫ (e^x / (1 + e^x)) dx = ∫ (1/u) * du

Теперь проинтегрируем правую часть:

∫ (1/u) du = ln|u| + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь заменим обратно переменные, используя u = 1 + e^x:

ln|u| + C₂ = ln|1 + e^x| + C₂

Теперь объединим оба интеграла:

ln|y| + C₁ = ln|1 + e^x| + C₂

Для дальнейшего решения выразим константы C₁ и C₂ одной константой C:

ln|y| = ln|1 + e^x| + C

Теперь избавимся от логарифма, применяя экспоненту к обеим сторонам:

|y| = e^(ln|1 + e^x| + C)

|y| = e^(ln|1 + e^x|) * e^C

Теперь можем упростить правую часть, используя свойство e^(ln(a)) = a:

|y| = (1 + e^x) * e^C

Теперь заметим, что если y является решением, то и -y тоже является решением. Поэтому мы можем убрать модуль:

y = ± (1 + e^x) * e^C

Где C = ±e^C - новая произвольная постоянная, объединяющая константы C₁ и C₂.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = ± (1 + e^x) * e^C

где C - произвольная постоянная.