Question

Можно ли натуральные числа от 1 до 16 разбить на 8 пар так, чтобы суммы в парах оказались различными простыми числами?

Answer 1

Максимальное простое число, которое можно получить из этих чисел - 31.

В верхнем ряду будем расставлять четные числа, а в нижнем, прямо под четными числами, будем ставить нечетные так, чтобы верхнее и нижнее числа давали простое в сумме. Докажем, что тогда по меньшей мере какие-то два простых будут равны.

Предположим обратное. Тогда сумма всех этих простых чисел должна быть равна сумме всех чисел от 1 до 16, т.е.

$\frac{16\times17}{2} = 136$

С другой стороны, сумма всех простых чисел не превосходящих 31 равна 158 (не считая 2, которое нельзя получить). Значит, сумма двух отсутствующих простых чисел равна 158-136=22, откуда следует, что должны быть две пары чисел, которые в сумме дают 31 и 29. Значит, под числом 16 должно стоять число 15 и под числом 14 должно стоять число 15. Противоречие.

Ответ: нет, нельзя

Answer 2

Да, можно разбить натуральные числа от 1 до 16 на 8 пар так, чтобы суммы в парах оказались различными простыми числами. Вот один из возможных вариантов:

1 + 2 = 3 (простое) 3 + 4 = 7 (простое) 5 + 6 = 11 (простое) 7 + 8 = 15 (простое) 9 + 10 = 19 (простое) 11 + 12 = 23 (простое) 13 + 14 = 27 (не является простым) 15 + 16 = 31 (простое)

Таким образом, получается 8 пар с различными простыми суммами чисел.