Question

Нужно решить коши ДУ y'+2y=e³^x ; y(0)=6/5

Answer 1

{y\'(x) + 2 y(x) = e^(3^x), y(0) = 6\/5}

Answer 2

Чтобы решить данное начальное значение задачи Коши, воспользуемся методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y' + 2y = 0.

Шаг 1: Однородное уравнение Уравнение y' + 2y = 0 является линейным уравнением первого порядка, его общее решение может быть записано в виде y_h(x) = Ce^(-2x), где C - произвольная постоянная.

Шаг 2: Частное решение неоднородного уравнения Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения y' + 2y = e^x в виде частной функции y_p(x) = Ae^x, где A - неизвестная постоянная.

y_p'(x) = Ae^x Подставляем это в исходное уравнение: Ae^x + 2(Ae^x) = e^x 3Ae^x = e^x A = 1/3

Таким образом, частное решение y_p(x) = (1/3)e^x.

Шаг 3: Найденное решение Общее решение неоднородного уравнения y' + 2y = e^x можно записать в виде: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = Ce^(-2x) + (1/3)e^x

Шаг 4: Находим значение постоянной C Используя начальное условие y(0) = 6/5, подставляем x = 0 и y = 6/5 в уравнение для общего решения: 6/5 = Ce^(0) + (1/3)e^(0) 6/5 = C + 1/3

C = 6/5 - 1/3 C = 18/15 - 5/15 C = 13/15

Таким образом, решение исходной задачи Коши y' + 2y = e^x, y(0) = 6/5 имеет вид: y(x) = (13/15)e^(-2x) + (1/3)e^x