Question

Докажите, что какими бы ни были натуральные числа a и b, НОК(a;b)НОД(a;b) = ab. Приведите примеры,

Answer 1

предположим, что НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = ab:

(a - b)² = ab

a² + b² = 3ab

Если число делится на три, его квадрат тоже делится на 3, в противном случае квадрат даёт остаток 1 от деления на 3. 3ab делится на 3, значит, a  делится на 3 и b делится на 3, но тогда НОД(a, b) = 3. Противоречие. Значит, НОД(a, b) > 1.

Answer 2

Числа 2 и 8: НОК 8, НОД 2; 2*8=2*8

Числа 3 и 7: НОК 1, НОД 21; 3*7=21*1

ЧИСЛА 14 и 21: НОК 42, НОД 7;

14*21=42*7

ЭТО ПРИМЕРЫ)

Answer 3

Для доказательства тождества НОК(a, b) * НОД(a, b) = ab, где a и b - натуральные числа, воспользуемся свойствами НОК и НОД.

Пусть НОД(a, b) = d, тогда существуют натуральные числа k и l такие, что a = kd и b = ld.

Теперь рассмотрим НОК(a, b). По определению, НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b). Подставим выражения для a и b:

НОК(a, b) = (kd * ld) / d = k * l * d / d = k * l.

Теперь у нас есть НОК(a, b) и НОД(a, b) в виде k * l и d соответственно.

Теперь докажем, что НОК(a, b) * НОД(a, b) = ab:

НОК(a, b) * НОД(a, b) = (k * l) * d = k * l * d = ab.

Таким образом, мы доказали тождество НОК(a, b) * НОД(a, b) = ab для любых натуральных чисел a и b.

Примеры:

1. Пусть a = 6 и b = 8.

   НОД(6, 8) = 2, так как наибольший общий делитель двух чисел равен 2. НОК(6, 8) = 24, так как наименьшее общее кратное двух чисел равно 24.

   Проверим тождество: НОК(6, 8) * НОД(6, 8) = 24 * 2 = 48, и это равно ab = 6 * 8 = 48.

   Таким образом, для a = 6 и b = 8 тождество выполняется.

2. Пусть a = 15 и b = 9.

   НОД(15, 9) = 3, так как наибольший общий делитель двух чисел равен 3. НОК(15, 9) = 45, так как наименьшее общее кратное двух чисел равно 45.

   Проверим тождество: НОК(15, 9) * НОД(15, 9) = 45 * 3 = 135, и это равно ab = 15 * 9 = 135.

   Таким образом, для a = 15 и b = 9 тождество выполняется.

Такие примеры можно привести для любых натуральных чисел a и b, и тождество НОК(a, b) * НОД(a, b) = ab всегда будет выполняться.