Question

||x|-2|=|x+2| решить уравнение подробно

Answer 1

Ответ:

x∈(-∞; 0]

Пошаговое объяснение:

||x|-2|=|x+2|

1) x < 0 ⇔ x ∈ (-∞; 0)

||x|-2|=|x+2| ⇔ |-x-2|=|x+2| ⇔ |x+2|=|x+2| ⇒ x∈(-∞; +∞) ∩ (-∞; 0) = (-∞; 0)

2) x≥0 ⇔ x ∈ [0; +∞) ⇒ x+2≥2 >0

||x|-2|=|x+2| ⇔ |x-2|=x+2

a) 0≤x≤2 ⇔ x∈[0; 2]

|x-2|=x+2 ⇔ -(x-2) = x+2 ⇔ -x+2=x+2 ⇒ x=0 ∈ [0; 2]

b) x>2 ⇔ x∈(2; +∞)

|x-2|=x+2 ⇔ x-2 = x+2 ⇔ 0 = 4 ? x∈∅

Объединим решения:

x∈(-∞; 0)∪{0}=(-∞; 0]

Answer 2

Давайте решим уравнение ||x| - 2| = |x + 2| поэтапно:

1. Выясним, для каких значений x выражение ||x| - 2| определено. Внутри модуля должно быть неотрицательное значение, чтобы итоговый модуль был корректно определен. Таким образом, условие для ||x| - 2| будет: |x| - 2 >= 0.

   Решаем это неравенство: |x| >= 2

   Это неравенство будет выполняться для всех значений x, у которых |x| больше или равно 2. Графически это представляет собой два интервала на числовой оси: (-∞, -2] и [2, +∞).

2. Рассмотрим два случая для x:

   Случай 1: x >= 2 В этом случае модуль x, т.е. |x|, равен самому x. Поэтому уравнение можно переписать следующим образом: |x - 2| = |x + 2|

   Теперь рассмотрим два подслучая: a) x - 2 >= 0 и x + 2 >= 0 b) x - 2 >= 0 и x + 2 < 0

   a) x - 2 >= 0 и x + 2 >= 0: В этом случае модули равны сами значения внутри них, и уравнение примет вид: x - 2 = x + 2

   Решаем уравнение: x - x = 2 + 2 0 = 4

   Уравнение 0 = 4 не имеет решений в действительных числах.

   b) x - 2 >= 0 и x + 2 < 0: В этом случае модуль |x + 2| будет -(x + 2), и уравнение примет вид: x - 2 = -(x + 2)

   Решаем уравнение: x - 2 = -x - 2

   Переносим x на одну сторону уравнения: x + x = -2 + 2 2x = 0

   Делим обе стороны на 2: x = 0

   Таким образом, в этом подслучае x = 0.

3. Случай 2: x < -2 В этом случае модуль x, т.е. |x|, равен -(x). Поэтому уравнение можно переписать следующим образом: |-(x) - 2| = |x + 2|

   Рассмотрим два подслучая: a) -(x) - 2 >= 0 и x + 2 >= 0 b) -(x) - 2 >= 0 и x + 2 < 0

   a) -(x) - 2 >= 0 и x + 2 >= 0: В этом случае модули равны сами значения внутри них, и уравнение примет вид: -x - 2 = x + 2

   Решаем уравнение: -x - x = 2 + 2 -2x = 4

   Делим обе стороны на -2: x = -2

   Таким образом, в этом подслучае x = -2.

   b) -(x) - 2 >= 0 и x + 2 < 0: В этом случае модуль |x + 2| будет -(x + 2), и уравнение примет вид: -x - 2 = -(x + 2)

   Решаем уравнение: -x - 2 = -x - 2

   Уравнение имеет множество решений, так как x может принимать любые значения меньше -2.

Итак, после анализа обоих случаев, получаем следующие решения: x = -2, 0.