Question

Решите в целых числах ур-ние: xy=2011(x+y)

Answer 1

$xy=2011x+2011y\\xy-2011y=2011x\\y(x-2011)=2011x$

При x = 2011 получаем, что 0 = 2011², что неверно, поэтому можем поделить на x-2011.

$y=\dfrac{2011x}{x-2011}=\dfrac{2011x-2011^2+2011^2}{x-2011}=\dfrac{2011(x-2011)+2011^2}{x-2011}=2011+\\+\dfrac{2011^2}{x-2011}$

Так как y — число целое, то 2011² должно делиться на x-2011. 2011 — простое число, поэтому 2011² делится на ±1, ±2011, ±2011².

1. $x-2011=1\Rightarrow x=2012, y=2011+2011^2=2011\cdot 2012=4046132$

2. $x-2011=-1\Rightarrow x=2010, y=2011-2011^2=-2011\cdot 2010=-4042110$

3. $x-2011=2011\Rightarrow x=4022, y=2011+2011=4022$

4. $x-2011=-2011\Rightarrow x=0, y=2011-2011=0$

5. $x-2011=2011^2\Rightarrow x=2011^2+2011=2011\cdot 2012=4046132\\y=2011+1=2012$

6. $x-2011=-2011^2\Rightarrow x=2011-2011^2=-2011\cdot 2010=-4042110\\y=2011-1=2010$

Ответ: (2012; 4046132), (4046132; 2012), (2010; -4042110), (-4042110; 2010), (0; 0), (4022; 4022)

Answer 2

Дано уравнение: xy = 2011(x + y).

Для решения этого уравнения в целых числах можно воспользоваться следующим методом.

1. Распишем уравнение: xy - 2011x - 2011y = 0.

2. Применим метод подстановки, предполагая, что x и y являются коэффициентами уравнения.

   xy - 2011x - 2011y = 0

   xy - 2011x - 2011*y = 0

   xy - 2011x - 2011*y + 2011^2 = 2011^2

   (x - 2011)*(y - 2011) = 2011^2.

3. Разложим число 2011^2 на множители. Факторизация 2011^2 дает следующие возможности:

   2011^2 = 1 * 2011^2 = (-1) * (-2011^2) = (-2011) * (-2011)

   Таким образом, мы получаем три пары возможных значений:

   x - 2011 = 1, y - 2011 = 2011^2 x - 2011 = -1, y - 2011 = -2011^2 x - 2011 = -2011, y - 2011 = -2011

4. Решим каждую из трех пар уравнений.

   Первая пара: x - 2011 = 1 x = 2012

   y - 2011 = 2011^2 y = 2011^2 + 2011 = 2011(2011 + 1) = 2011 * 2012

   Первое решение: x = 2012, y = 2011 * 2012.

   Вторая пара: x - 2011 = -1 x = 2010

   y - 2011 = -2011^2 y = -2011^2 + 2011 = 2011(1 - 2011) = 2011 * (-2010)

   Второе решение: x = 2010, y = 2011 * (-2010).

   Третья пара: x - 2011 = -2011 x = 0

   y - 2011 = -2011 y = 0 + 2011 = 2011

   Третье решение: x = 0, y = 2011.

5. Итак, мы получили три решения в целых числах: x = 2012, y = 2011 * 2012 x = 2010, y = 2011 * (-2010) x = 0, y = 2011.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.