Question

Помогите решить, вообще не понимаю, как это сделать 1)Lim(n стремиться к + бескон.) [n(кореньn^2+1-кореньn^2-1)]

Answer 1

Умножим и поделим $(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1})$, получим

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}n\Big(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\Big)= \lim_{n \to +\infty}\dfrac{n\Big(n^2+1-n^2+1\Big)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}=\\ \\ \\ = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}= \lim_{n \to +\infty}\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}}=\\ \\ \\ \\ =\dfrac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\dfrac{2}{1+1}=1$

Answer 2

Давайте разберемся вместе. Чтобы решить данное предел, вам потребуется применить некоторые алгебраические преобразования и тригонометрические тождества.

1. Начнем с выражения под корнем. Воспользуемся разностью квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

   Заметим, что под корнем в числителе есть выражение (n^2 + 1) - (n^2 - 1). Применим формулу разности квадратов: n^2 + 1 - n^2 + 1 = (n^2 + 1) - (n^2 - 1) = (n^2 + 1) - (n^2 - 1)^2

2. Далее, разделим на корень и умножим на сопряженное выражение (n^2 + 1 + (n^2 - 1)):

   [n(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1))] / [(n^2 + 1) - (n^2 - 1)] = [n(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1))] / [корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1)] = [n(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1))] / [(корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1))]

   Здесь мы использовали формулу a^2 - b^2 = (a + b)(a - b), чтобы сократить знаменатель.

3. Теперь упростим числитель:

   n(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1)) = n(корень(n^2 + 1) - корень(n^2 - 1)) * (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1)) / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))

   = n(корень(n^2 + 1)^2 - корень(n^2 - 1)^2) / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))

   = n((n^2 + 1) - (n^2 - 1)) / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))

   = n(1 + 1) / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))

   = 2n / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))

4. Теперь, когда числитель у нас выражен в более простой форме, мы можем найти предел по мере n стремится к плюс бесконечности:

   Lim(n стремиться к +бескон.) [2n / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))]

   При n, стремящемся к бесконечности, знаменатель (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1)) также стремится к бесконечности, а числитель 2n также стремится к бесконечности.

   В итоге, предел этой функции при n, стремящемся к бесконечности, равен:

   Lim(n стремиться к +бескон.) [2n / (корень(n^2 + 1) + корень(n^2 - 1))] = +бесконечность

Таким образом, предел данной функции при n, стремящемся к плюс бесконечности, равен плюс бесконечности.