Question

Среди первых ста элементов ариф. прогрессии 1, 8, 15... найдите те, которые являются также элементами арифметической прогрессии 4,9,14... В ответе укажите сумму найденных чисел

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Первая прогрессия имеет общую формулу 7x + 1, а1 = 1, d1 = 7, а100 = 694.

Вторая прогрессия имеет общую формулу 5y + 4, d2 = 5.

И члены этих прогрессий должны быть равны друг другу.

7x + 1 = 5y + 4

7x = 5y + 3.

Число 5y + 3 должно делиться на 7. Нетрудно подобрать первое значение:

y = 5; 7x = 5*5 + 3 = 28; x = 4; a = 7x + 1 = 29.

У 1 прогрессии d1 = 7, у 2 прогрессии d2 = 5.

Каждое следующее значение будет через 7*5 = 35.

29, 64, 99, 134, 169, 204, 239, 274, 309, 344, 379, 414, 449, 484, 519, 554, 589, 624, 659, 694.

Answer 2

Для решения этой задачи можно сопоставить соответствующие члены обоих прогрессий и решить систему уравнений.

Пусть n - номер искомого элемента в обеих прогрессиях.

Для первой прогрессии: a₁ = 1 (первый член) d₁ = 8 - 1 = 7 (разность)

Для второй прогрессии: a₂ = 4 (первый член) d₂ = 9 - 4 = 5 (разность)

Теперь составим систему уравнений, чтобы найти значение n: a₁ + (n - 1)d₁ = a₂ + (n - 1)d₂

1 + (n - 1) * 7 = 4 + (n - 1) * 5

Упростим и решим это уравнение:

1 + 7n - 7 = 4 + 5n - 5

2n = 3

n = 3/2

Таким образом, мы видим, что номер элемента, который принадлежит обоим прогрессиям, является дробным числом. Так как по условию мы ищем элементы, которые принадлежат первым 100 членам прогрессии, ответом будет сумма всех таких элементов.

Сумма элементов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: S = (n/2)(2a + (n - 1)d)

В нашем случае, сумма элементов будет: S = (100/2)(2a + (100 - 1)d)

S = 50(2 + 99*7)

S = 50(2 + 693)

S = 50 * 695

S = 34,750

Таким образом, сумма найденных чисел равна 34,750.