Question

Профильная математика, 11 класс Точки L и N - середины оснований ВС и AD трапеции ABCD соответственно, а точки K и М - середины диагоналей АС и BD соответственно. Известно, что KM=LN.а) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 12, а разность оснований трапеции равна 10.​

Answer 1

Ответ:

4,8

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим неизвестные величины и воспользуемся свойствами трапеции.

Обозначим:

• Основание трапеции AB = a.
• Основание трапеции CD = b.
• Высота трапеции h.

Согласно условию задачи, разность оснований трапеции равна 10, то есть a - b = 10.

Также, из условия задачи известно, что KM = LN и дана площадь четырехугольника KLMN, равная 12.

Свойство 1: Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту: S = (a + b) * h / 2.

Свойство 2: Диагонали трапеции делят её на 4 подобные трапеции, причем каждая из них подобна исходной трапеции. Из этого следует, что KLMN - подобная трапеции ABCD.

Так как KM = LN, то стороны KLMN равны сторонам ABCD, делёнными на некоторый коэффициент подобия k:

KL = AB / k = a / k, KM = AD / k = h / k.

Теперь, площадь четырехугольника KLMN:

S(KLMN) = (1/2) * KL * KM = (1/2) * (a / k) * (h / k) = ah / (2k^2) = 12.

Теперь нам нужно выразить высоту трапеции h через a и b, используя систему уравнений:

1. a - b = 10 (из условия разности оснований).
2. ah / (2k^2) = 12 (из условия площади KLMN).

Для этого, давайте найдем значение k из второго уравнения:

ah = 24k^2 h = 24k^2 / a.

Теперь, подставим это значение в первое уравнение:

a - b = 10, 24k^2 / a - b = 10, 24k^2 - ab = 10a, 24k^2 = 10a + ab, k^2 = (10a + ab) / 24, k = sqrt((10a + ab) / 24).

Теперь у нас есть выражение для k через a и b. Мы можем использовать его для нахождения высоты h:

h = 24k^2 / a, h = 24 * ((10a + ab) / 24)^2 / a, h = (10a + ab)^2 / a.

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты h через a и b, можем воспользоваться условием разности оснований:

a - b = 10, b = a - 10.

Теперь заменим b в выражении для высоты:

h = (10a + ab)^2 / a, h = (10a + a(a - 10))^2 / a, h = (10a + a^2 - 10a)^2 / a, h = (a^2)^2 / a, h = a^2.

Таким образом, высота трапеции равна квадрату длины её основания.

Ответ: Высота трапеции равна a^2.