Question

Разложить вектор c{3;2}, по векторам а{1;-2}, в{2;0}

Answer 1

Ответ:

с{3;2} = -a{1;-2} + 2b{2;0}

Пошаговое объяснение:

с = x*a + y*b <=>

<=> 3 = x*1 + y*2

<=> 2 = x*(-2) + y*0

Итак имеем систему:

x + 2y = 3

-2x = 2

Из второго следует x = -1, тогда первое: 2y = 4, то есть y = 2.

В итоге с{3;2} = -a{1;-2} + 2b{2;0}.

Answer 2

Для разложения вектора c{3;2} по векторам а{1;-2} и в{2;0} нужно найти коэффициенты, с которыми эти векторы нужно скомбинировать, чтобы получить вектор c. Обозначим эти коэффициенты как k1 и k2 соответственно.

Для начала, найдем проекцию вектора c на вектор а. Проекция вектора c на вектор а вычисляется по формуле:

proj_a(c) = (c · a) / ||a||^2 * a,

где c · a - скалярное произведение векторов c и а, ||a|| - норма (длина) вектора а.

Выполняя вычисления, получим:

proj_a(c) = ((3 * 1) + (2 * (-2))) / ((1^2) + ((-2)^2)) * {1; -2} = (3 - 4) / (1 + 4) * {1; -2} = -1 / 5 * {1; -2} = {-1/5; 2/5}.

Затем, найдем проекцию вектора c на вектор в. Проекция вектора c на вектор в вычисляется по аналогичной формуле:

proj_в(c) = (c · в) / ||в||^2 * в,

где c · в - скалярное произведение векторов c и в, ||в|| - норма (длина) вектора в.

Подставляя значения и выполняя вычисления, получим:

proj_в(c) = ((3 * 2) + (2 * 0)) / ((2^2) + 0^2) * {2; 0} = (6 + 0) / (4 + 0) * {2; 0} = 6 / 4 * {2; 0} = {3/2; 0}.

Теперь, чтобы разложить вектор c по векторам а и в, нужно просуммировать найденные проекции с определенными коэффициентами:

c = k1 * a + k2 * в.

Следовательно,

{3; 2} = k1 * {1; -2} + k2 * {2; 0}.

Теперь осталось найти значения k1 и k2, решив систему уравнений:

3 = k1 + 2k2, 2 = -2k1.

Решая эту систему, получим:

k1 = -1, k2 = 2.

Таким образом, разложение вектора c{3; 2} по векторам а{1;-2} и в{2;0} будет:

c = -1 * {1; -2} + 2 * {2; 0} = {-1; 2} + {4; 0} = {3; 2}.