Question

Здравствуйте. Срочно упростите выражение: Cos²t-ctg²t/sin²t-tg²t

Answer 1

Ответ:

tg²t·ctg²t=1

sin²t·cos²t·(tg²t·ctg²t+2) =3sin²t·cos²t=3*(sin 2t)/4

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Здравствуйте! Чтобы упростить выражение, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Для начала, преобразуем числитель:

Cos²t - ctg²t = Cos²t - (1/tan²t)

Далее, преобразуем знаменатель:

sin²t - tg²t = sin²t - (sin²t/cos²t) = sin²t - sin²t/cos²t = sin²t(1 - 1/cos²t)

Теперь, объединим числитель и знаменатель:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (Cos²t - (1/tan²t)) / (sin²t(1 - 1/cos²t))

Теперь заменим тангенс на соответствующие тригонометрические функции:

tan²t = sin²t/cos²t

Подставим это обратно в выражение:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (Cos²t - (1/(sin²t/cos²t))) / (sin²t(1 - 1/cos²t))

Далее, приведем дробь в числителе к общему знаменателю:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (Cos²t - cos²t/sin²t) / (sin²t(1 - 1/cos²t))

Теперь объединим числитель:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = ((Cos²t * sin²t - cos²t) / sin²t) / (sin²t(1 - 1/cos²t))

Далее, упростим числитель:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = ((Cos²t * sin²t - cos²t) / sin²t) / (sin²t - sin²t/cos²t)

Теперь, сократим дроби в числителе:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (cos²t(sin²t - 1) / sin²t) / (sin²t - sin²t/cos²t)

Заменим sin²t - 1 на cos²t:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (cos²t * cos²t / sin²t) / (sin²t - sin²t/cos²t)

Упростим дроби:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (cos^4(t) / sin^2(t)) / ((cos^2(t) * sin^2(t)) / (cos^2(t)))

Теперь сократим cos^2(t) в числителе и знаменателе:

(Cos²t - ctg²t) / (sin²t - tg²t) = (cos^2(t) / sin^2(t))

Итак, упрощенное выражение:

Cos²t - ctg²t / sin²t - tg²t = cos^2(t) / sin^2(t)