Question

Петя и Вася играют в следующую игру. У них есть шоколадка 2019 × 2020 клеток, и каждым ходом игрок отламывает от неё прямоугольный кусок и съедает его (в результате остаётся тоже прямоугольник, состоящий из клеток, но меньшего размера). Начинает игру Петя, далее ходят по очереди. Побеждает тот, после чьего хода периметр шоколадки станет ровно 10. Кто из игроков может выиграть при любой игре соперника? Как ему надо для этого действовать? СРОЧНО!!!ДАЮ 25 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

Победить можно, если Петя или Вася будет отламывать кусочки со стороны 2019. Тот, кто это будет делать, тот и победит, но другому, соответственно нужно отламывать со стороны 2020.

Answer 2

Для того чтобы понять, как один из игроков может выиграть в этой игре, давайте рассмотрим начальное состояние шоколадки: 2019 × 2020.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. Изначально периметр шоколадки равен 2 × (2019 + 2020) = 8078.

Таким образом, первоначально периметр шоколадки равен 8078, и игроки будут по очереди отламывать куски, чтобы съесть шоколадку. Важно отметить, что периметр всегда уменьшается на четное число после каждого хода, так как игрок отрезает кусок с одной стороны, и периметр уменьшается на длину этой стороны, а затем отрезает кусок с другой стороны, и периметр уменьшается ещё раз на длину этой стороны. Таким образом, периметр всегда уменьшается на четное число.

Теперь давайте рассмотрим итоговый периметр шоколадки, который равен 10. Поскольку периметр всегда уменьшается на четное число, чтобы получить периметр равный 10, игрок должен сделать ход, после которого периметр станет равным 10 + чётное число.

Исходя из этого, давайте рассмотрим ходы игроков:

1. Петя (ход 1): Петя отрезает кусок таким образом, чтобы периметр уменьшился на четное число. Периметр теперь равен 8078 - (четное число).
2. Вася (ход 2): Вася делает такой ход, чтобы периметр снова уменьшился на четное число. Периметр теперь равен (8078 - (четное число)) - (четное число).

И так далее...

Поскольку игроки делают ходы по очереди, каждый раз уменьшая периметр на четное число, невозможно достичь периметра 10. После каждого хода периметр будет иметь вид: 8078 - четное число - четное число - ...

Таким образом, в этой игре никто не сможет выиграть, и она будет продолжаться до тех пор, пока все клетки шоколадки не будут съедены. Ни Петя, ни Вася не смогут выиграть при любой игре соперника, так как периметр шоколадки никогда не станет ровно 10.

Пожалуйста, обратите внимание, что шоколадка может быть разделена на куски только вдоль линий между клетками, и каждый кусок должен быть прямоугольным.