Question

Даны три числа. Если каждое из них уменьшить на 1, то их произведение тоже уменьшится на 1. Если все исходные числа уменьшить на 2, то их произведение тоже уменьшится на 2. а) На сколько уменьшится произведение, если все исходные числа уменьшить на 3?б) Укажите какие-нибудь три числа, удовлетворяющие условию задачи.​

Answer 1

Ответ:

Уменьшится на 9.

Пошаговое объяснение:

a) Пусть имеются числа a, b, c.

Рассмотрим выражение (a-x)(b-x)(c-x). Раскроем скобки:

(a-x)(b-x)(c-x) = abc-x(ab+bc+ac)+x²(a+b+c)-x³

То же самое можно было получить, пользуясь формулами Виета.

Пусть ab+bc+ac=p, a+b+c=q.

Тогда (a-x)(b-x)(c-x) = abc-px+qx²-x³

1) Рассмотрим выражение (a-1)(b-1)(c-1):

(a-1)(b-1)(c-1) = abc - p*1 + q*1² - 1³ = abc - p + q - 1

По условию, оно равно abc-1. То есть:

abc - p + q - 1 = abc - 1.

Отсюда p - q = 0

2) Рассмотрим выражение (a-2)(b-2)(c-2):

(a-2)(b-2)(c-2) = abc - 2p + 2²q - 2³ = abc - 2p + 4q - 8

По условию, оно равно abc-2. То есть:

abc - 2p + 4q - 8 = abc - 2

Отсюда p - 2q = -3.

Получили систему уравнений:

{p-q=0,

{p-2q=-3

Вычтем из первого уравнения второе и найдем q:

-q-(-2q)=0-(-3)

q=3.

Из первого уравнения p=q=3.

3) Рассмотрим выражение (a-3)(b-3)(c-3):

(a-3)(b-3)(c-3) = abc - 3p + 3²q - 3³ = abc - 3p + 9q - 27.

С учетом найденных p и q получим:

abc - 3p + 9q - 27 = abc - 3*3 + 9*3 - 27 = abc - 9

Таким образом, произведение уменьшилось на abc - (a-3)(b-3)(c-3) = 9.

б) В качестве a, b, c можно взять a=1, b=1, c=1.

abc = 1,

(a-1)(b-1)(c-1) = 0

(a-2)(b-2)(c-2) = -1

(a-3)(b-3)(c-3) = -8

Answer 2

Пусть исходные числа будут обозначены как a, b и c.

Условие задачи говорит нам, что (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc - 1 и (a - 2)(b - 2)(c - 2) = abc - 2.

abc - (a + b + c) + 1 = abc - 1 (Уравнение 1) abc - 2(a + b + c) + 4 = abc - 2 (Уравнение 2)

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2:

abc - 2(a + b + c) + 4 - (abc - (a + b + c) + 1) = abc - 2 - (abc - 1)

Упростим:

abc - 2a - 2b - 2c + 4 - abc + a + b + c - 1 = abc - 2 - abc + 1

Удалим общие члены:

-2a - 2b - 2c + 4 + a + b + c - 1 = -2 + 1

-2a - 2b - 2c + a + b + c + 3 = -1

-2a - 2b - 2c + a + b + c = -4

-a - b - c = -4

a + b + c = 4 (Уравнение 3)

Итак, мы получили уравнение 3: a + b + c = 4.

Теперь можем рассмотреть два случая:

а) Если все исходные числа уменьшить на 3, то (a - 3)(b - 3)(c - 3) = abc - 3(a + b + c) + 9.

Мы можем подставить a + b + c = 4 (из уравнения 3) в это уравнение:

(a - 3)(b - 3)(c - 3) = abc - 3(4) + 9 (a - 3)(b - 3)(c - 3) = abc - 12 + 9 (a - 3)(b - 3)(c - 3) = abc - 3

Таким образом, произведение уменьшится на 3.

б) Чтобы найти пример трех чисел, удовлетворяющих условию задачи, мы можем использовать уравнение 3: a + b + c = 4.

Один из примеров трех чисел, которые удовлетворяют этому уравнению, является 1, 2 и 1:

1 + 2 + 1 = 4

Теперь мы можем проверить, удовлетворяют ли эти числа условиям задачи:

(1 - 1)(2 - 1)(1 - 1) = 0, что верно (0 - 1 = -1) (1 - 2)(2 - 2)(1 - 2) = -1, что верно (-1 - 2 = -3)

Таким образом, числа 1, 2 и 1 удовлетворяют условию задачи.