Question

Терміново. 4. Скласти рівняння геометричного міcця точок, відстань яких від заданої точки А(0; 4) в два рази менша відстані до прямої у = 16.

Answer 1

Пусть точка М(х; у) находится в заданном ГМТ.

В соответствии с заданием составим уравнение.

2√(x² + (4 - y)²) = 16 -y.

Возведём обе части уравнения в квадрат.

4(x² + 16 - 8y + y²) = 256 - 32y + y².

Раскроем скобки и приведём подобные.

4x² + 64 -32y + 4y² = 256 - 32y + y².

4x² + 3y² = 192.   Разделим на 192.

x²/48 + y²/64 = 1. Это уравнение эллипса, выразим его в каноническом виде:

(x²/((4√3)²) +(y²/8²) = 1. Это и есть ответ.

Answer 2

Щоб скласти рівняння геометричного місця точок, відстань яких від заданої точки А(0; 4) в два рази менша відстані до прямої у = 16, спочатку визначимо відстань від точки А до прямої у = 16.

Відстань між точкою (x₁, y₁) і прямою Ax + By + C = 0 обчислюється за формулою: d = |Ax₁ + By₁ + C| / sqrt(A² + B²)

У даному випадку, пряма задана рівнянням у = 16, що можна переписати у вигляді 0x + 1y - 16 = 0.

Таким чином, відстань від точки А(0; 4) до прямої у = 16 буде: d = |0(0) + 1(4) - 16| / sqrt(0² + 1²) = |4 - 16| / sqrt(1) = |-12| / 1 = 12

Тепер, щоб знайти рівняння геометричного місця точок, відстань яких від точки А(0; 4) в два рази менша від відстані до прямої у = 16, ми повинні знайти точки, відстань від яких до точки А буде дорівнювати 12/2 = 6.

Позначимо ці точки як (x, y). Використовуючи формулу відстані, маємо: sqrt((x - 0)² + (y - 4)²) = 6

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, щоб позбутись підкореневого виразу: (x - 0)² + (y - 4)² = 6² x² + (y - 4)² = 36

Отже, рівняння геометричного місця точок, відстань яких від точки А(0; 4) в два рази менша від відстані до прямої у = 16, є: x² + (y - 4)² = 36