Question

1) В какой точке кривой y^2=4x^3 касательная перпендикулярна к прямой x+3y-1=0

Answer 1

Ответ: угловой коэффициент касательной равен производной в этой точке. Для данной прямой угловой коэффициент равен -1/3, тогда производная в точке должна равняться -1/(-1/3)=3 или 3=3*корень из х или х=1.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти точку на кривой, в которой касательная перпендикулярна к заданной прямой, нам нужно найти общую точку этих двух линий.

Для начала, найдем точку пересечения прямой и кривой. Подставим уравнение прямой в уравнение кривой: (x + 3y - 1)^2 = 4x^3

Раскроем скобки и приведем подобные члены: x^2 + 9y^2 + 1 + 6xy - 2x - 6y = 4x^3

Получаем уравнение кубической кривой: 4x^3 - x^2 + 6xy - 2x + 9y^2 - 6y + 1 = 0

Для дальнейшего решения нам понадобятся частные производные этого уравнения по x и y. Выразим x и y через параметр t, чтобы получить параметрическое уравнение кубической кривой:

x = t y = (4t^3 - t^2 + 1) / 9

Теперь найдем производные: dx/dt = 1 dy/dt = (12t^2 - 2t) / 9

Чтобы найти точку на кривой, в которой касательная перпендикулярна к прямой, должно выполняться условие ортогональности:

dx/dt * dx/dx' + dy/dt * dy/dx' = 0,

где dx/dx' и dy/dx' - производные координат x и y по параметру t. В нашем случае dx/dx' = 1.

Подставим значения и решим уравнение:

1 * 1 + (12t^2 - 2t) / 9 * (-3) = 0

1 - (4t^2 - 2t) / 3 = 0

Упростим:

3 - 4t^2 + 2t = 0

4t^2 - 2t - 3 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Решив его, найдем значения параметра t. Подставим эти значения в параметрическое уравнение кубической кривой, чтобы найти соответствующие значения x и y. Таким образом, найдем точки, в которых касательная перпендикулярна к прямой x + 3y - 1 = 0 на кривой y^2 = 4x^3.