Question

Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А (-1;4) и прямой y=-2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.​

Answer 1

Решение приведено на фото.

Answer 2

Чтобы составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А (-1;4) и прямой y=-2, можно использовать определение параболы. Геометрическое место таких точек будет параболой с фокусом в точке А и директрисой, которая является прямой y=-2.

Уравнение параболы в стандартной форме выглядит следующим образом:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

где (h, k) - координаты фокуса параболы, а p - фокусное расстояние.

Для нашего случая фокус находится в точке А (-1;4), а фокусное расстояние p - это расстояние от фокуса до директрисы (прямой y=-2). Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:

$\text{Расстояние до прямой} = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

где Ax + By + C = 0 - уравнение прямой, а (x, y) - координаты точки.

Для прямой y=-2, A=0, B=1 и C=-2. Подставим координаты точки А (-1;4):

$\text{Расстояние до прямой} = \frac{|0*(-1) + 1*4 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|2|}{1} = 2$

Таким образом, фокусное расстояние p = 2. Теперь у нас есть все необходимые данные для составления уравнения:

$(x + 1)^2 = 4 \cdot 2(y - 4)$

Упростим это уравнение:

$(x + 1)^2 = 8(y - 4)$

Теперь у нас есть уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А и прямой y=-2. Для построения кривой необходимо нарисовать параболу по этому уравнению на графике.