Question

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A(x1; y1) равно расстоянию до прямой y = b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.A (2;1), b=-1

Answer 1

Пусть М(х;у) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у = -1 (см. приложение). Тогда В (х; -1).
Так как МА=МВ, то $\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=y-(-1) .$
Возведём обе части в квадрат.
$(x-2)^2+(y-1)^2=(y+1)^2.$
Раскроем скобки с переменной у:
$(x-2)^2=y^2+2y+1-y^2+2y-1=4y.$
Получаем уравнение параболы:
$y=(1/4)(x-2)^2.$

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О*(2; 0). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим x – 2 = X*, y = Y*. 

Тогда в системе координат Х*0*У* уравнение параболы принимает следующий вид: У*= (1/4)(Х*)².

Answer 2

Для решения задачи, нам необходимо найти уравнение линии, для которой расстояние от каждой точки до точки A(2,1) равно расстоянию до прямой y=b.

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти с помощью формулы:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Расстояние от точки (x, y) до точки A(2, 1) будет равно:

d1 = √((x - 2)^2 + (y - 1)^2)

Расстояние от точки (x, y) до прямой y = b можно найти с помощью формулы:

d2 = |y - b|

Так как нам нужно найти уравнение линии, для которой d1 = d2, мы можем записать:

√((x - 2)^2 + (y - 1)^2) = |y - b|

Для упрощения уравнения, мы можем возвести обе части в квадрат:

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (y - b)^2

Раскроем скобки:

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2by + b^2

Упростим уравнение, вычитая y^2 и b^2 с обеих сторон:

x^2 - 4x + 4 - 2y + 1 = - 2by

x^2 - 4x + 5 - 2y = - 2by

Теперь выразим y через x и b:

2by = - x^2 + 4x - 5 + 2y

2by - 2y = - x^2 + 4x - 5

2y(b - 1) = - x^2 + 4x - 5

y = (- x^2 + 4x - 5) / (2(b - 1))

Таким образом, уравнение линии будет иметь вид:

y = (- x^2 + 4x - 5) / (2(b - 1))

Для построения кривой, мы можем выбрать различные значения b и подставить их в уравнение, чтобы получить соответствующие значения x и y. Затем, используя полученные точки, можно построить график.