Question

Найти предел через второй замечательный предел:

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\Big(3^x+x\Big)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0}\Big(1+3^x+x-1\Big)^{\frac{1}{x}\cdot \frac{3^x+x-1}{3^x+x-1}}=e^\big{\lim_{x \to 0}\frac{3^x+x-1}{x}}=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{3^x-1}{x}\right)}=e\cdot e^\big{\lim_{x \to 0}\frac{3^x-1}{x}}=e\cdot e^{\ln 3}=3e$

Answer 2

Второй замечательный предел относится к пределу функции (sin(x))/x при x стремящемся к нулю. Этот предел равен 1.

Если вам дан предел функции и вы хотите найти предел другой функции с использованием второго замечательного предела, вам необходимо преобразовать исходную функцию таким образом, чтобы она содержала функцию (sin(x))/x и затем использовать второй замечательный предел.

Например, рассмотрим предел функции (2sin(x))/x при x стремящемся к нулю. Мы можем записать эту функцию как 2(sin(x))/x. Затем мы можем разделить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить функцию (sin(x))/(x/2). Затем мы можем заменить (x/2) на t и рассмотреть предел функции (sin(t))/t при t стремящемся к нулю. Используя второй замечательный предел, мы можем сказать, что этот предел равен 1.

Таким образом, предел функции (2*sin(x))/x при x стремящемся к нулю равен 1.