Question

Исследовать функцию и построить её график y=x³/x-1 (найти область определения D(f), выяснить чётность или не чётность переодической, найти точки пересечения с осями координат, найти асимптомы графика функций, найти промежутоки монотоности и экстремумы, найти промежутки выпуклости и точки перегиба, и построить график)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: Y = x³/(x-1)

Исследование

1. Область определения: D(х)= R\{1} =  (-∞;1)∪(1;+∞).  

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2.Поведение в точке разрыва. LimY(1-)= -∞, LimY(1+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 1. Неустранимый разрыв II-го рода.  

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.    

k = lim(+∞)Y(х)/x = х³/(x²+ x) = ∞ - коэффициент наклона.

Наклонной асимптоты  нет.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0.  

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) = 0  

6. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(0;1).

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;0)∪(1;+∞)  

7. Проверка на чётность.  

Функция со сдвигом от осей симметрии  - функция общего вида.

Ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ни чётная:  Y(-x) ≠ Y(x)

8. Поиск экстремумов по первой производной.      

$y'(x)=\frac{-x^3}{(x-1)^2}+3*\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2*(2x-3)}{(x-1)^2}=0$  

Корни квадратного уравнения. х1 = 0  и х2= 3/2 = 1,5.  

9. Локальные экстремумы.  

Минимум: Y(1,5) = 6.75 , Максимум: Y(0) = 0

10. Интервалы монотонности.    

Возрастает: X∈(1.5;+∞)  

Убывает: Х∈(-∞;1)∪(1;1.5)

11. Поиск перегибов по второй производной.    

y''(x) = 2*x*(x²-3*x+3)/(x-1)² = 0

x = 0  и точка разрыва при Х = 1.      

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(0;1).

Вогнутая - 'ложка'- X∈(-∞;0)∪(1;+∞;).  

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

Рисунок с графиком функции в приложении.

Answer 2

Давайте последовательно рассмотрим исследование функции $f(x) = \frac{x^3}{x-1}$:

1. Область определения $D(f)$: Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, для которых знаменатель равен нулю, т.е. $x-1 \neq 0$. Решим уравнение $x-1=0$: $x = 1$. Таким образом, область определения функции $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

2. Чётность или нечётность функции: Перейдем к изучению чётности или нечётности функции $f(x)$. Чтобы определить чётность или нечётность, проверим, выполняется ли равенство $f(-x) = f(x)$ (чётность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётность).

   Подставим $-x$ в функцию: $f(-x) = \frac{(-x)^3}{-x - 1} = \frac{-x^3}{-x - 1}$.

   Теперь сравним с исходной функцией: $f(x) = \frac{x^3}{x-1}$.

   Мы видим, что $f(-x) = -\frac{x^3}{x-1} \neq f(x)$, и также $f(-x) \neq -f(x)$. Значит, функция $f(x)$ не является ни чётной, ни нечётной.

3. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем $f(x)$ нулю и решим уравнение: $\frac{x^3}{x-1} = 0$. Нулевое значение получается только тогда, когда числитель равен нулю: $x^3 = 0$. Решением этого уравнения является только $x = 0$. Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точке $(0, 0)$.

   Теперь найдем точку пересечения с осью ординат, подставив $x = 0$ в функцию: $f(0) = \frac{0^3}{0-1} = 0$. Значит, график также пересекает ось ординат в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты графика функции: Чтобы найти асимптоты, исследуем поведение функции на бесконечности и при $x$ близких к точке $x=1$.

   a) Асимптота на бесконечности: Рассмотрим предел функции при $x$ стремящемся к бесконечности: $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3}{x-1}$. Используем правило Лопиталя (дважды): $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^3}{x-1} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{3x^2}{1} = \infty$. Это означает, что у функции есть вертикальная асимптота на бесконечности.

   b) Асимптота при $x \to 1$: Рассмотрим предел функции при $x$ стремящемся к $1$ справа и слева: $\lim_{{x \to 1^+}} \frac{x^3}{x-1}$ и $\lim_{{x \to 1^-}} \frac{x^3}{x-1}$.

   Подставим $x=1$ в функцию: $f(1) = \frac{1^3}{1-1} = \text{неопределено}$.

   Мы получаем неопределенность "0/0", значит, здесь возможна асимптота. Применим правило Лопиталя: $\lim_{{x \to 1^+}} \frac{x^3}{x-1} = \lim_{{x \to 1^+}} \frac{3x^2}{1} = 3$, $\lim_{{x \to 1^-}} \frac{x^3}{x-1} = \lim_{{x \to 1^-}} \frac{3x^2}{1} = 3$