Question

При каком значении k выражение 36x^4+6x^2+k будет квадратом двучлена?​

Answer 1

Ответ:

k=1/4

Пошаговое объяснение:

Приведём к полному квадрату

$36x^{4} +6x^{2} +k=36(x^{4}+\frac{1}{6}x^{2} )+k=36(x^{4}+2*\frac{1}{12}x^{2}+(\frac{1}{12} )^{2} -(\frac{1}{12} )^{2} )+k=\\=36(x^{4}+2*\frac{1}{12}x^{2}+(\frac{1}{12} )^{2}) -36*(\frac{1}{12} )^{2}+k=36(x^{2}+\frac{1}{12})^{2} -36*\frac{1}{144} +k=36(x^{2}+\frac{1}{12})^{2} -\frac{1}{4} +k$

Отсюда, для того чтобы выражение стал квадратом двучлена нужно чтобы

$-\frac{1}{4} +k=0$

или

k=1/4

Answer 2

Для того чтобы выражение $36x^4 + 6x^2 + k$ было квадратом двучлена, мы должны найти значение $k$, при котором оно может быть записано в виде $(ax^2 + b)^2$, где $a$ и $b$ - некоторые константы.

Раскрывая квадрат, получим:

$(ax^2 + b)^2 = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2$

Теперь нам нужно сравнить коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Приравнивая коэффициенты, получим следующую систему уравнений:

$a^2 = 36$ (коэффициент при $x^4$) $2ab = 6$ (коэффициент при $x^2$) $b^2 = k$ (коэффициент при $x^0$)

Из первого уравнения получаем, что $a = 6$ (так как $6^2 = 36$). Подставляя $a = 6$ во второе уравнение, получаем $2(6)b = 6$, откуда $12b = 6$ и, следовательно, $b = \frac{1}{2}$. Наконец, из третьего уравнения получаем, что $b^2 = k$, откуда $k = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Итак, при $k = \frac{1}{4}$ выражение $36x^4 + 6x^2 + \frac{1}{4}$ будет квадратом двучлена $(6x^2 + \frac{1}{2})^2$.