Question

В прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 13 см, вписана окружность. Найдите длины катетов треугольника, если радиусокружности равен 2 см.​

Answer 1

Ответ: 5 и 12

Пошаговое объяснение:

1.  Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности будет равен  полуразности между суммой катетов и гипотенузой. Обозначим катеты a и b, гипотенузу с. Тогда r = (a+b-c)/2. Отсюда находим что сумма катетов равна 17.

2. По теореме Пифагора находим a²+b²=c². Выразив b через (17-a), получим квадратное уравнение :

a²+(17-b)² = 13²

раскрыв скобки и  приведя подобные получаем:

2a²-34a+120=0

корни этого уравнения 5 и 12.

Answer 2

Пусть катеты треугольника имеют длины a и b (где a — катет, лежащий на одном конце гипотенузы, а b — катет, лежащий на другом конце гипотенузы).

В прямоугольном треугольнике радиус окружности, вписанной в него, является половиной высоты, опущенной на гипотенузу. Таким образом, в треугольнике справедливо следующее соотношение:

r = (a + b - c) / 2,

где r — радиус окружности, c — длина гипотенузы.

Подставляя известные значения, получаем:

2 = (a + b - 13) / 2.

Умножим обе части уравнения на 2:

4 = a + b - 13.

Теперь добавим 13 к обеим частям уравнения:

4 + 13 = a + b.

17 = a + b.

Таким образом, мы получаем, что сумма катетов равна 17.

Так как треугольник прямоугольный, можно воспользоваться теоремой Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где c — длина гипотенузы.

Подставляя известные значения, получаем:

a^2 + b^2 = 13^2,

a^2 + b^2 = 169.

Мы также знаем, что сумма катетов равна 17:

a + b = 17.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

a^2 + b^2 = 169, a + b = 17.

Решая эту систему уравнений, можно найти значения катетов a и b.

Одно из возможных решений этой системы уравнений: a = 8 и b = 9, или наоборот, a = 9 и b = 8.