Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке у=(х+6)/(х^2+13); [-5;5]

Answer 1

Ответ: наиб 1/2,  наим. 1/38 на [-5;5]

Пошаговое объяснение:

y'=1*(x^2+13)-(x+6)*2x /(x^2+13)^2=x^2+13-2x^2-12x /(x^2+13)^2=-x^2-12x+13 /(x^2+13)^2,  y'=0,   -x^2-12x+13=0,  корни х1=-13 (не принадл-т [-5;5] ),  x2=1,

порабола, ветви вниз,  возрастает [-5;1]  и убывает  [1;5],  наиб. в точке х=1,  найдем  значения функций в этих точках,  у(1)=1+6 /1+13=7/14=1/2,

у(-5)=-5+6 /25+13=1/38,  у(5)=1+6 /38=7/38

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у = (х + 6)/(х^2 + 13) на отрезке [-5; 5], мы должны рассмотреть значения функции на концах отрезка и значения в критических точках внутри отрезка.

1. Найдем значения функции на концах отрезка: Подставим x = -5 и x = 5 в функцию y = (x + 6)/(x^2 + 13):

y(-5) = (-5 + 6)/((-5)^2 + 13) = 1/38 ≈ 0.0263 y(5) = (5 + 6)/(5^2 + 13) = 11/38 ≈ 0.2895

2. Найдем критические точки внутри отрезка, на которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:

y = (x + 6)/(x^2 + 13) y' = [(x^2 + 13)(1) - (x + 6)(2x)]/(x^2 + 13)^2

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: [(x^2 + 13)(1) - (x + 6)(2x)]/(x^2 + 13)^2 = 0

(x^2 + 13) - 2x(x + 6) = 0 x^2 + 13 - 2x^2 - 12x = 0 -x^2 - 12x + 13 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем две критические точки: x1 ≈ -12.02 x2 ≈ 0.02

3. Теперь найдем значения функции в этих критических точках: Подставим x1 ≈ -12.02 и x2 ≈ 0.02 в функцию y = (x + 6)/(x^2 + 13):

y(x1) ≈ (-12.02 + 6)/((-12.02)^2 + 13) ≈ -0.0471 y(x2) ≈ (0.02 + 6)/(0.02^2 + 13) ≈ 0.4615

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-5; 5] равно примерно 0.4615 (достигается при x ≈ 0.02), а наименьшее значение функции равно примерно -0.0471 (достигается при x ≈ -12.02).