Question

Постройке график функций y=x^2+5|x|-6Определите 1.Область определения и множество значений 2.Промежутки возрастания и убывания функции 3.Точки пересечения с осями координат 4.Промежутки знакопостоянства ​

Answer 1

Ответ:

=====================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим график функции y = x^2 + 5|x| - 6 и решим ваши вопросы:

1. Область определения и множество значений: Область определения функции y = x^2 + 5|x| - 6 не имеет ограничений, так как квадрат и модуль являются определенными на всей числовой прямой. Следовательно, область определения функции - это множество всех действительных чисел (-∞, +∞). Множество значений функции будет зависеть от значения модуля. Квадрат x^2 всегда будет неотрицательным, поэтому нашим основным вкладом в множество значений будет 5|x|. Значение модуля всегда будет неотрицательным, поэтому 5|x| будет неотрицательным. К нему добавляется -6, что означает, что множество значений будет в диапазоне (-6, +∞).

2. Промежутки возрастания и убывания функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции рассмотрим производную функции y = x^2 + 5|x| - 6. Производная функции равна y' = 2x + 5 * sign(x), где sign(x) - функция знака. Функция знака sign(x) равна -1 для x < 0, 0 для x = 0 и 1 для x > 0.

   Посмотрим на знаки производной:

   • Если x < 0, то sign(x) = -1, и производная y' = 2x - 5 < 0. Значит, функция убывает на интервале (-∞, 0).
   • Если x > 0, то sign(x) = 1, и производная y' = 2x + 5 > 0. Значит, функция возрастает на интервале (0, +∞).
   • При x = 0 производная не существует, так как модуль не имеет производной в точке 0.

   Итак, функция возрастает на интервале (0, +∞) и убывает на интервале (-∞, 0).

3. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем y к 0 и решим уравнение. При y = 0 получаем: x^2 + 5|x| - 6 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением, которое можно решить. Решая уравнение, получим следующие точки пересечения с осями координат: (-6, 0) и (1, 0).

4. Промежутки знакопостоянства: Чтобы найти промежутки знакопостоянства, рассмотрим различные интервалы на числовой прямой и определим знак функции в каждом интервале.

   • Если x < -6, то оба слагаемых в функции отрицательны. Значит, функция отрицательна на интервале (-∞, -6).
   • Если -6 < x < 1, то первое слагаемое x^2 положительно, а второе слагаемое 5|x| отрицательно. Значит, функция положительна на интервале (-6, 1).
   • Если x > 1, то оба слагаемых в функции положительны. Значит, функция положительна на интервале (1, +∞).
   • В точках пересечения с осями координат (x = -6 и x = 1) функция обращается в 0.

Таким образом, мы определили:

1. Область определения: (-∞, +∞) Множество значений: (-6, +∞)
2. Промежутки возрастания: (0, +∞) Промежутки убывания: (-∞, 0)
3. Точки пересечения с осями координат: (-6, 0) и (1, 0)
4. Промежутки знакопостоянства: (-∞, -6) и (1, +∞)