Question

Доказать тождество алгебры множеств: ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z );

Answer 1

Ответ:

Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда

или 1) а ∈ X ∩ Y  ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.

Если а ∈ Z  ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

Значит, а ∈ X и а ∈ Y  ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z

Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Из включений

( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )

(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z

получаем равенство!

Answer 2

Давайте докажем данное тождество алгебры множеств поэлементно.

Пусть элемент x принадлежит левой части тождества ((X ∩ Y) ∪ Z). Это означает, что x принадлежит либо множеству X и Y, либо множеству Z. Рассмотрим два случая:

1. Если x принадлежит множеству X и Y, то он также принадлежит их объединению (X ∪ Z) и объединению (Y ∪ Z). Таким образом, x принадлежит правой части тождества ((X ∪ Z)∩(Y ∪ Z)).

2. Если x принадлежит множеству Z, то он также принадлежит объединению (X ∪ Z) и объединению (Y ∪ Z). Опять же, x принадлежит правой части тождества ((X ∪ Z)∩(Y ∪ Z)).

Таким образом, любой элемент x, принадлежащий левой части тождества, также принадлежит правой части тождества.

Теперь рассмотрим обратное включение. Пусть элемент x принадлежит правой части тождества ((X ∪ Z)∩(Y ∪ Z)). Это означает, что x принадлежит и множеству (X ∪ Z), и множеству (Y ∪ Z). Рассмотрим два случая:

1. Если x принадлежит множеству (X ∪ Z), то он может быть в двух случаях:

   • x принадлежит множеству X, и тогда он принадлежит множеству X ∩ Y, и, следовательно, принадлежит и левой части тождества ((X ∩ Y) ∪ Z).
   • x принадлежит множеству Z, и тогда он принадлежит левой части тождества ((X ∩ Y) ∪ Z).

2. Если x принадлежит множеству (Y ∪ Z), то он может быть в двух случаях:

   • x принадлежит множеству Y, и тогда он принадлежит множеству X ∩ Y, и, следовательно, принадлежит и левой части тождества ((X ∩ Y) ∪ Z).
   • x принадлежит множеству Z, и тогда он принадлежит левой части тождества ((X ∩ Y) ∪ Z).

Таким образом, любой элемент x, принадлежащий правой части тождества, также принадлежит левой части тождества.

Мы показали, что любой элемент, принадлежащий одной из частей тождества, принадлежит и другой части. Следовательно, левая и правая части тождества содержат одни и те же элементы, и тождество (X ∩ Y) ∪ Z = (X ∪ Z)∩ (Y ∪ Z) доказано.