Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 0.6, а сумма четырех ее первых членов равна 13/27. Найти квадрат знаменателя прогрессии.Пожалуйста помогите ​

Answer 1

По условию $S=\dfrac{b_1}{1-q}=0{,}6$ откуда $b_1=0{,}6(1-q)$ и $b_1+b_2+b_3+b_4=\dfrac{13}{27}$. По формуле общего n-го члена геометрической прогрессии:

$b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=\dfrac{13}{27}\\ \\ b_1(1+q+q^2+q^3)=\dfrac{13}{27}\\ \\ 0{,}6(1-q)(1+q+q^2(1+q))=\dfrac{13}{27}\\ \\ (1-q)(1+q)(1+q^2)=\dfrac{65}{81}\\ \\ (1-q^2)(1+q^2)=\dfrac{65}{81}\\ \\ 1-q^4=\dfrac{65}{81}\\ \\ q^4=\dfrac{16}{81}\\ \\ q^2=\dfrac{4}{9}$

Ответ: 4/9.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии (а) и знаменатель прогрессии (r). Тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии может быть выражена следующим образом:

S = a / (1 - r)

Мы знаем, что сумма четырех первых членов прогрессии равна 13/27. То есть:

a + ar + ar^2 + ar^3 = 13/27

Мы также знаем, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 0.6. То есть:

S = a / (1 - r) = 0.6

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и r). Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения a и r.

Для начала, разделим второе уравнение на первое:

(a / (1 - r)) / (a + ar + ar^2 + ar^3) = 0.6 / (13/27)

(1 - r) / (1 + r + r^2 + r^3) = (0.6 / (13/27))

Теперь умножим оба уравнения на знаменатель слева и справа:

(1 - r) * (13/27) = (1 + r + r^2 + r^3) * (0.6 / (13/27))

13/27 - 13r/27 = (1 + r + r^2 + r^3) * (0.6 / (13/27))

13 - 13r = (1 + r + r^2 + r^3) * 0.6

13 - 13r = 0.6 + 0.6r + 0.6r^2 + 0.6r^3

0.6r^3 + 0.6r^2 + 1.2r - 13.6 = 0

Теперь решим это уравнение численно или графически, чтобы найти значения r.

После того, как мы найдем значение r, мы можем использовать одно из уравнений выше, чтобы найти значение a. Затем мы сможем найти квадрат знаменателя прогрессии, возводя r в квадрат.